洛谷 P1072 Hankson 的趣味题
2017-12-14 20:11
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洛谷 P1072 Hankson 的趣味题
题目描述Hanks 博士是 BT (Bio-Tech,生物技术) 领域的知名专家,他的儿子名叫 Hankson。现在,刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上,老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识,他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”,这个问题是这样的:已知正整数 a0,a1,b0,b1,设某未知正整数 x 满足:
1. x 和 a0 的最大公约数是 a1;
2. x 和 b0 的最小公倍数是 b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后,他发现这样的x 并不唯一,甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。
输入输出格式
输入格式:
第一行为一个正整数 n,表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每行一组输入数据,为四个正整数 a0,a1,b0,b1,每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除,b1 能被 b0 整除。
输出格式:
输出文件 son.out 共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行,为一个整数。
对于每组数据:若不存在这样的 x,请输出 0;
若存在这样的 x,请输出满足条件的 x 的个数;
输入输出样例
输入样例#1:
2 41 1 96 288 95 1 37 1776
输出样例#1:
6 2
说明
【说明】
第一组输入数据,x 可以是 9、18、36、72、144、288,共有 6 个。
第二组输入数据,x 可以是 48、1776,共有 2 个。
【数据范围】
对于 50%的数据,保证有 1≤a0,a1,b0,b1≤10000 且 n≤100。
对于 100%的数据,保证有 1≤a0,a1,b0,b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。
NOIP 2009 提高组 第二题
题解
数论因为 (a0,x)=a1,[b0,x]=b1,所以,a1∗p=x,b1=x∗t,那么,b1=a1∗p∗t=a1∗s,
从上式可以得出 b1|a1,(a0/a1,p)=1,(b1/b0,t)=1,t=s/p
令 m=a0/a1,n=b1/b0,显然,s,m,n 必须为整数
则上式就转化成了(m,p)=1,(n,s/p)=1
因为(n,s/p)=1,那么,我们就可以通过从 s 中消去 s,q 的所有相同的质数得到一个数 l,所以 (s/p)|l 即 p=(s/l)∗r 且 r|l,而 (m,p)=1,所以 (r,m)=1 且 r|l,所以,就可以从l消去m,l的所有相同的质数的到一个数q,那么所有的r,只要满足 r|q 即可
所以,只要从 1 枚举到 q√ 也就可以所有r的个数了(因为,r∗k=q,而 r≤q√,那么 k≥q√ )
而x=(s/l)∗r∗a1,那么 x 的个数也就知道了
代码
#include<cstdio> using namespace std; int a,b,c,d,t,m,n,s,l,q,ans; int readln() { int x=0; char ch=getchar(); while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar(); while ('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return x; } int gcd(int x,int y) { return y==0?x:gcd(y,x%y); } int max(int x,int y){return x>y?x:y;} int min(int x,int y){return x<y?x:y;} int clear(int x,int y) { for (int i=2;i*i<=y;i++) { if (y%i==0) while(x%i==0) x/=i; while (y%i==0) y/=i; } if (y!=1) while(x%y==0) x/=y; return x; } int main() { t=readln(); while(t--) { a=readln();b=readln();c=readln();d=readln(); if (a%b!=0||d%c!=0||d%b!=0) {printf("0\n");continue;} m=a/b;n=d/c;s=d/b;l=clear(s,n); if (gcd(max(s/l,m),min(s/l,m))!=1) {printf("0\n");continue;} q=clear(l,m);ans=0; for (int i=1;i*i<=q;i++) if(q%i==0) ans+=(i*i==q?1:2); printf("%d\n",ans); } return 0; }
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