数据结构：图及其邻接矩阵与邻接表表示

图

六度空间理论

图中两个顶点若要联系，最多通过6个结点便可以完成 。

基本概念

图用于表示“多对多”的关系。

包含

一组顶点：通常用V (Vertex) 表示顶点集合

一组边：通常用E (Edge) 表示边的集合

边是顶点对：(v, w) E ，其中v, w V

有向边< v, w> 表示从v指向w的边（单行线）




不考虑重边和自回路

重边：两个顶点之间有两条边。

自回路：一个顶点的边指向自己。

抽象数据类型定义

类型名称：图（Graph）

数据对象集：G(V,E)由一个非空的有限顶点集合V和一个有限边集合E组成。

操作集：对于任意图G  Graph，以及v  V, e  E

Graph Create()：建立并返回空图；

Graph InsertVertex(Graph G, Vertex v)：将v插入G；

Graph InsertEdge(Graph G, Edge e)：将e插入G；

void DFS(Graph G, Vertex v)：从顶点v出发深度优先遍历图G；

void BFS(Graph G, Vertex v)：从顶点v出发宽度优先遍历图G；

void ShortestPath(Graph G, Vertex v, int Dist[])：计

算图G中顶点v到任意其他顶点的最短距离；

void MST(Graph G)：计算图G的最小生成树；

怎么在程序中表示一个图

对顶点进行编号。

顶点序号所对应在邻接矩阵中的值为1。

因为没有自回路，所以对角线全为0。

无向图为对称矩阵。

问题：对于无向图的存储，怎样可以省一半空间？

用一个长度为N(N+1)/2的1维数组A存储{G00,G10,G11,……,Gn-1 0,…,Gn-1 n-1}，则Gij在A中对应的下标是：(i*(i+1)/2+j)。

-对于网络，只要把G[i][j]的值定义为边

邻接矩阵—— 有什么好处？

直观、简单、好理解

方便检查任意一对顶点间是否存在边

方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）

方便计算任一顶点的“度”（从该点发出的边数为“出

度”，指向该点的边数为“入度”）

无向图：对应行（或列）非0元素的个数

有向图：对应行非0元素的个数是“出度”；对应列非0元素的

个数是“入度”

邻接矩阵—— 有什么不好？

浪费空间—— 存稀疏图（点很多而边很少）有大量无效元素

对稠密图（特别是完全图）还是很合算的

浪费时间—— 统计稀疏图中一共有多少条边

邻接表

G
为指针数组，对应矩阵每行一个链表，只存非0元素

邻接矩阵—— 有什么好处？

方便找任一顶点的所有“邻接点”

节约稀疏图的空间：需要N个头指针+2E（每个节点至少两个域）

方便计算任一顶点的“度”？：对无向图：是的，对又想吐只能计算出度，需要构造“逆邻接表”计算入度。

邻接矩阵—— 有什么不好？

不方便检查任意一对顶点间是否存在边。

代码实现

设定初始参数，最大值和权值顶点数

设定边结点，用于连接顶点。

设定图结点，建立顶点数，边数，表示关系的邻接矩阵。

设定插入函数，把边插入到图当中。

设定参数

设定INFINITY为最大值，便于权值的比较。

```

define MaxVertexNum 100 /* 最大顶点数设为100 */

define INFINITY 65535 /* ∞设为双字节无符号整数的最大值65535/

typedef int Vertex; / 用顶点下标表示顶点,为整型 /

typedef int WeightType; / 边的权值设为整型 /

typedef char DataType; / 顶点存储的数据类型设为字符型 */

### 设定边结点
- 包括边结点、边结点的指针、边连接的两个顶点和边的权重。

/* 边的定义 /

typedef struct ENode PtrToENode;

struct ENode{

Vertex V1, V2; /* 有向边

### 设定图结点
- 包括图结点、图结点的指针、包含的顶点数、边数、图的邻接矩阵、顶点存储的数据。

/* 图结点的定义 /

typedef struct GNode PtrToGNode;

struct GNode{

int Nv; /* 顶点数 /

int Ne; / 边数 /

WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; / 邻接矩阵 /

DataType Data[MaxVertexNum]; / 存顶点的数据 /

/ 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data[]可以不用出现 /

};

typedef PtrToGNode MGraph; / 以邻接矩阵存储的图类型 */

### 创建一个图
- 创建一个图结点并将顶点初始化，返回指针。

MGraph CreateGraph( int VertexNum )

{ /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */

Vertex V, W;

MGraph Graph;

Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立图 */
Graph->Nv = VertexNum;
Graph->Ne = 0;
/* 初始化邻接矩阵 */
/* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
for (W=0; W<Graph->Nv; W++)
Graph->G[V][W] = INFINITY;

return Graph;

}

### 将边插入到顶点当中
- 接受一个边结点，把对应值的关系储存。
- 若是无向图要储存两次。

void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E )

{

/* 插入边

### 建立图

MGraph BuildGraph()

{

MGraph Graph;

Edge E;

Vertex V;

int Nv, i;

scanf("%d", &Nv);   /* 读入顶点个数 */
Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */

scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 读入边数 */
if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */
E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立边结点 */
/* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */
for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight);
/* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */
InsertEdge( Graph, E );
}
}

/* 如果顶点有数据的话，读入数据 */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
scanf(" %c", &(Graph->Data[V]));

return Graph;

}

```