【C语言】求取第n个斐波那契数的时间复杂度、空间复杂度分析,用三种方式实现(普通递归,循环,优化递归)
2017-12-13 19:56
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斐波那契数列
【含义】:斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果。
用C求取第n个斐波那契数
【时间复杂度】:递归总次数*每次递归的次数【空间复杂度】:递归的深度*每次递归空间的大小
【递归深度】:树的高度(递归的过程是一个”二叉树”)
【一般算法O(n)计算方法】:
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
- 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项
- 如果最高阶项系数存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。
【普通递归实现】:
#include<stdio.h> #include<Windows.h> long long fib(long long n){ if(n < 3) return 1; return fib(n-1)+fib(n-2); } int main(){ long long n = 0; scanf("%llu",&n); printf("%llu\n",fib(n)); system("pause"); return 0; }
【时间复杂度】:O(2^n)
【空间复杂度】:O(n)
【缺陷】:重复计算次数太多,效率低下。
【循环】:
#include<stdio.h> #include<Windows.h> long long fib(long long n){ int i = 0; long long first = 1,second = 1; long long ret = 0; for(i=3;i<=n;++i){ ret = first + second; first = second; second = ret; } return second; } int main(){ long long n = 0; scanf("%llu",&n); printf("%llu\n",fib(n)); system("pause"); return 0; }
【时间复杂度】:O(n)
【空间复杂度】:O(1)
【升级版递归】:
#include<stdio.h> #include<Windows.h> long long fib(long long first,long long second,long long n){ if(n < 3) return 1; if(n == 3) return first + second; return fib(second,first+second,n-1); } int main(){ long long n = 0; scanf("%llu",&n); printf("%llu\n",fib(1,1,n)); system("pause"); return 0; }
【分析】:
本算法采用了尾递归的算法;
【时间复杂度】:O(n)
【空间复杂度】:O(n) (在VS debug环境下,其他环境有可能会进行编译器优化)
【注意】:尾递归有时候在特定环境下会产生编译器优化,即不会再为尾递归函数调用下一级函数时开辟新栈,而是直接在旧函数的内存块上进行修改),这时它的空间复杂度为O(1)。
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