BZOJ2179 FFT快速傅立叶
2017-12-13 17:18
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标签:FFT
Description
给出两个n位10进制整数x和y,你需要计算x*y。
Input
第一行一个正整数n。 第二行描述一个位数为n的正整数x。 第三行描述一个位数为n的正整数y。
Output
输出一行,即x*y的结果。
Sample Input
1
3
4
Sample Output
12
数据范围:
n<=60000
bzoj100题纪念!!!
其中i是方程x2=−1的根,相当于−1−−−√(注意只是相当于,易于理解!!!)
将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模,记作∣z∣
即对于复数z=a+bi,它的模为a2+b2−−−−−−√
称复数z′=a−bi为z的共轭复数。即两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
运算法则和普通多项式类似
复平面就是将z=a+bi在平面上表示为(a,b),x轴为实部单位1,y轴为虚部单位i
系数表达就是大家常用的表达方式,点值表达就像在这个多项式函数上取n个不同的点,这样就可以确定原多项式。
举个栗子
我们通过三点可以确定一个二次函数,两点确定一条直线。一个n次多项式需要n个点(n次多项式意思是有0到n-1次幂的多项式)。
f(x)=x2+2x−1可以被表达为(0,−1),(1,2),(2,7)
将多项式用点值表达可以快速加法和乘法
答案是2n次单位根。
数学上,n次单位根是n次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上,构成正n边形的顶点,其中一个顶点是1。
复数中1恰好有n个单位根e2kπi/n
eix=cos x+i sin x
//以下部分看不懂的可以跳过(本部分引用自picks博客http://picks.logdown.com/posts/177631-fast-fourier-transform)
假如我们取单位根的幂进行转换,会有什么效果?
设A0(x)是A(x)的偶次项的和,A1(x)是奇次项的和。那么:
A(ωmn)A(ωm+n2n)====A0((ωmn)2)+ωmnA1((ωmn)2)A0(ωmn2)+ωmnA1(ωmn2)A0((ωmn)2)+ωm+n2nA1((ωmn)2)A0(ωmn2)−ωmnA1(ωmn2)
即我们只要有了A0(x)A1(x)的点值表示,就能在O(n)时间内算出A(x)的点值表示。
题目
题目传送门Description
给出两个n位10进制整数x和y,你需要计算x*y。
Input
第一行一个正整数n。 第二行描述一个位数为n的正整数x。 第三行描述一个位数为n的正整数y。
Output
输出一行,即x*y的结果。
Sample Input
1
3
4
Sample Output
12
数据范围:
n<=60000
分析
FFT模板题,理解起来好困难啊,照着黄学长的代码敲的,看来我不适合学习FFT。。。bzoj100题纪念!!!
快速傅里叶变换FFT*
复数和复平面
我们把形如a+bi(a,b均为实数)的数称为复数,其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。当虚部等于零时,这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。其中i是方程x2=−1的根,相当于−1−−−√(注意只是相当于,易于理解!!!)
将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模,记作∣z∣
即对于复数z=a+bi,它的模为a2+b2−−−−−−√
称复数z′=a−bi为z的共轭复数。即两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
运算法则和普通多项式类似
复平面就是将z=a+bi在平面上表示为(a,b),x轴为实部单位1,y轴为虚部单位i
多项式的表达方式
系数表达和点值表达系数表达就是大家常用的表达方式,点值表达就像在这个多项式函数上取n个不同的点,这样就可以确定原多项式。
举个栗子
我们通过三点可以确定一个二次函数,两点确定一条直线。一个n次多项式需要n个点(n次多项式意思是有0到n-1次幂的多项式)。
f(x)=x2+2x−1可以被表达为(0,−1),(1,2),(2,7)
将多项式用点值表达可以快速加法和乘法
单位根
这样算出来的点值表示法,那么对应的求值点究竟是哪些呢?答案是2n次单位根。
数学上,n次单位根是n次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上,构成正n边形的顶点,其中一个顶点是1。
复数中1恰好有n个单位根e2kπi/n
eix=cos x+i sin x
DFT和FFT
使用单位根计算点值表达式叫DFT(离散傅里叶变换)复杂度O(n2),FFT是其分治的优化版,复杂度O(n log n)//以下部分看不懂的可以跳过(本部分引用自picks博客http://picks.logdown.com/posts/177631-fast-fourier-transform)
假如我们取单位根的幂进行转换,会有什么效果?
设A0(x)是A(x)的偶次项的和,A1(x)是奇次项的和。那么:
A(ωmn)A(ωm+n2n)====A0((ωmn)2)+ωmnA1((ωmn)2)A0(ωmn2)+ωmnA1(ωmn2)A0((ωmn)2)+ωm+n2nA1((ωmn)2)A0(ωmn2)−ωmnA1(ωmn2)
即我们只要有了A0(x)A1(x)的点值表示,就能在O(n)时间内算出A(x)的点值表示。
code
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<complex> #define pi acos(-1) #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--) #define ll long long #define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x) using namespace std; inline ll read() { ll f=1,x=0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } const int maxn=2e5+6; typedef complex<double> E; int n,m,L; char ch[maxn]; int R[maxn],c[maxn]; E a[maxn],b[maxn]; void fft(E *a,int f) { rep(i,0,n-1) if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]); for(int i=1;i<n;i<<=1){ E wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i)); for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){ E w(1,0); for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){ E x=a[j+k],y=w*a[j+k+i]; a[j+k]=x+y; a[j+k+i]=x-y; } } } if(f==-1)rep(i,0,n-1)a[i]/=n; } int main() { n=read();n--; scanf("%s",ch); rep(i,0,n)a[i]=ch[n-i]-'0'; scanf("%s",ch); rep(i,0,n)b[i]=ch[n-i]-'0'; m=2*n; for(n=1;n<=m;n<<=1)L++; rep(i,0,n-1)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1)); fft(a,1);fft(b,1); rep(i,0,n)a[i]*=b[i]; fft(a,-1); rep(i,0,m)c[i]=(int)(a[i].real()+0.1); rep(i,0,m) if(c[i]>=10){ c[i+1]+=c[i]/10,c[i]%=10; if(i==m)m++; } dep(i,m,0)printf("%d",c[i]); return 0; }
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