[hdu4609]3-idiots（快速傅利叶变换FFT）

题目名字是三个制杖…

【题意】

有T组数据

每组数据给出n条线段，问任意取三条，可以组成三角形的概率

【输入】

开头一行输入T（T<=10）

下来T组数据，每组数据第一行输入一个n（3<=n<=10^5）

第二行输入n个数，表示n条线段

线段长度（1<=n<=10^5）

【输出】

每组数据输出一个数p

表示可以组成三角形的概率

保留七位小数

【样例输入】

2

4

1 3 3 4

4

2 3 3 4

【样例输出】

0.5000000

1.0000000

这题和这道题构造多项式的大体思路差不多，而且都需要利用容斥的思想，如果不懂这道题的容斥的话可以去看一下我之前这道题的题解。

那么我们就讲一下容斥好了。

把q[]排序（q是边长）FFT过后，用一个num[]数组记下多项式的系数（也就是方案数啦），然后和前面那道题一样用num[q[i]*2]-=1来去掉重复拿两个的方案，用num[i]/=2去掉选择的顺序不同但选择的东西一样的方案。 做完这些之后用剩下的num数组求一个前缀和sum[]那么sum[i]记录的就是两边之和小于q[i]的方案个数，那么sum[len]-sum[q[i]]就是两边之和大于q[i]的方案个数，但是这里面也有不合法的情况，设其他两条边是a,b那么：

1、a=q[i]或b=q[i]，情况数是(n−1)

2、a>q[i]，b<q[i]，情况数是(n−1−i)∗i

3、a>q[i]，b>q[i]，情况数是(n−1−i)∗(n−2−i)2

（注意我是从0开始的）

证明大家自己去想一下吧，很简单的

因为卷积很大所以这题要开long long，注意一定要控制好int和longlong的转换，要不然会出现负数整题爆0（哭唧唧….

code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=210000;
const double pi=acos(-1.0);
struct complex
{
double r,i;
complex(){}
complex(double _r,double _i){r=_r,i=_i;}
friend complex operator + (const complex &x,const complex &y){return complex(x.r+y.r,x.i+y.i);}
friend complex operator - (const complex &x,const complex &y){return complex(x.r-y.r,x.i-y.i);}
friend complex operator * (const complex &x,const complex &y){return complex(x.r*y.r-x.i*y.i,x.r*y.i+x.i*y.r);}
}a[maxn*4];
int R[maxn*4];
void fft(complex *y,int len,int on)
{
for(int i=0;i<len;i++)if(i<R[i])swap(y[i],y[R[i]]);
for(int i=1;i<len;i<<=1)
{
complex wn(cos(pi/i),sin(on*pi/i));
for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
{
complex w(1,0);
for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn)
{
complex u=y[j+k];
complex v=w*y[j+k+i];
y[j+k]=u+v;
y[j+k+i]=u-v;
}
}
}
if(on==-1)for(int i=0;i<len;i++)y[i].r/=len;
}
LL num[maxn],sum[maxn];
int q[maxn];
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while(T--){
int n;scanf("%d",&n);
memset(num,0,sizeof(num));
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&q[i]);
num[q[i]]++;
}
sort(q,q+n);

int L=0,m=(int)q[n-1]+1,len;
for(len=1;len<=m*2;len*=2) L++;
for(int i=0;i<m;i++) a[i]=complex(num[i],0);//memset
for(int i=m;i<len;i++) a[i]=complex(0,0);
for(int i=0;i<len;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|(i&1)<<(L-1);
fft(a,len,1);
for(int i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*a[i];
fft(a,len,-1);
for(int i=0;i<len;i++) num[i]=(LL)(a[i].r+0.5);

len=2*q[n-1];
for(int i=0;i<n;i++) num[q[i]*2]--;//取两个相同
for(int i=1;i<=len;i++) num[i]/=2;//选择的无序

sum[0]=0; for(int i=1;i<=len;i++) sum[i]=sum[i-1]+num[i];
LL cnt=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cnt+=sum[len]-sum[q[i]];
cnt-=(n-1); //x2=a[i] 或者 x1=a[i]
cnt-=(LL)(n-i-1)*i; //x2>a[i],x1<a[i]
cnt-=(LL)(n-i-1)*(n-i-2)/2; //x2>a[i],x1>a[i]
}
LL tot=(LL)(n)*(n-1)*(n-2)/6;
printf("%.7lf\n",(double)cnt/tot);
}
return 0;
}