高数 07.03 全微分

§第七章第三节全微分

一元函数y=f(x)的微分Δy=AΔx−−−−+o(Δx)↓dy=f′(x)Δx

一、全微分的定义

定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)处全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)可表示成Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),ρ=(Δ)2+(Δy)2−−−−−−−−−−−√其中,A,B不依赖与Δx,Δy,仅与x,y有关,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微,AΔx+BΔy称为函数f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz=df=AΔx+BΔy若函数在域D内各点都可微,则称此函数在D内可微.

由微分定义:

limΔx→0,Δy→=0Δz=limρ→0[(AΔx+BΔy)+o(ρ)]=0

得limΔx→0,Δy→=0f(x+Δx,y+Δy=f(x,y)

Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)

即函数z=f(x,y)在点(x,y)可微→函数在该点连续

下面两个定理给出了可微与偏导数的关系：

(1)函数可微⟶偏导数存在

(2)偏导数连续⟶函数可微

定理1.(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数∂z∂x,∂z∂y必存在,且有dz=∂z∂xΔx+∂z∂yΔy

证:由全增量公式Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),令Δy=0,得到对x的偏增量Δxz=f(x+Δx,y)−f(x,y)=AΔx+o(|Δx|)∴∂z∂x=limΔx→0ΔxzΔx=A同样可证∂z∂y=B,因此有dz=∂z∂xΔx+∂z∂yΔy

定理2(充分条件)若函数z=f(x,y)的偏导数∂z∂x,∂z∂y在点(x,y)连续,则函数在该点可微分.

证:Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=[f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)]+[f(x,y+Δy)−f(x,y)]根据拉格朗日中值定理=fx(x+θ1Δx,y+Δy)Δx+fy(x,y+θ2Δy)Δy(0<θ1,θ2<1)因为f(x,y)在点(x,y)连续,=[fx(x,y)+α]Δx+[fy(x,y)+β]Δy

例1.计算函数z=exy在点(2,1)处的全微分.

解:∂z∂x=yexy∂z∂y=xexy∂z∂x∣∣∣(2,1)=e2∂z∂y∣∣∣(2,1)=2e2dz|(2,1)=e2dx+2e2dy

例2.计算函数u=x+siny2+eyz的全微分

解:du=∂u∂xdx+∂u∂ydy+∂u∂zdz=dx+(12cosy2+zeyz)dy+yeyzdz

内容小结

1.微分定义：(z=f(x,y))

Δz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy+o(ρ)ρ=(Δx)2+(Δy)2−−−−−−−−−−−−√

2.重要关系：[偏导数连续]⟶[函数可微][函数可微]⟶[函数连续][函数可微]⟶[函数可导][函数连续]和[函数可导]没有充要关系

3.微分应用

近似计算

Δz≈fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy

f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy

估计误差

绝对误差δz=|fx(x,y)|δx+|fy(x,y)|δy

相对误差δz|z|=∣∣∣fx(x,y)f(x,y)∣∣∣δx+∣∣∣fy(x,y)f(x,y)∣∣∣δy

练习

1.函数z=f(x,y)在(x0,y0)可微的充分条件是( D )

(A)f(x,y)在(x0,y0)连续;(B)f′x(x,y),f′y(x,y)在(x0,y0)的某领域内存在;(C)Δz−f′x(x,y)Δx−f′y(x,y)Δy,当(Δx)2+(Δy)2−−−−−−−−−−−−√→0时是无穷小量;(D)Δz−f′x(x,y)Δx−f′y(x,y)Δy(Δx)2+(Δy)2−−−−−−−−−−−−√,当(Δx)2+(Δy)2−−−−−−−−−−−−√→0时是无穷小量.

2.已知z=arctanxy,求dz

解：dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy=11+(xy)2⋅1ydx+11+(xy)2⋅−xy2dy=ydx−xdyx2+y2