【牛客网】2017年浙江工业大学大学生程序设计迎新赛热身赛 F题 方块 I【证明题】【想法题】

【牛客网】2017年浙江工业大学大学生程序设计迎新赛热身赛 F题 方块 I

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64bit IO Format: %lld

题目描述

有 N 个方块排成一排，每个方块都染有颜色，第 i 个的颜色为 Ci，一共有三种颜色，分别为红，黄，蓝，现在你可以对相邻的颜色不同的方块进行施法，使其变成第三种颜色，比如对相邻的红方块和黄方块进行施法，就会使其合并为蓝方块。施法顺序的不同，可能对最终的结果产生不同的影响，问在最优策略下，最少能剩下多少个方块。

输入描述:

T组数据。

每组数据一行，将方块序列用字符串形式给出，a，b，c表示三种不同颜色的方块。

T <= 10

1 <= N <= 5000

输出描述:

每组数据一个整数，表示答案。

引言：这个题在群里看到有人问，就思考了一下。虽做法简单，证法却不失趣味性，索性久违的写个题解吧~

假设方块段长度n，如果只含一种颜色，最少剩余方块数就是n。

如果含多种颜色，可以通过消除一种颜色变成01字符串（ex：0000011110011000）的形式。

我们总可以令01串的的开头是0，并先假设01串段数至少为3，段数为2特殊处理。

主方法：取从左往右第一个1往左一直合并，根据0的个数会变成1或者2（被消除的第三种颜色）。接下来分两种情况：

1. 如果变成1，就相当于最开始的0段被消除，1段增加了一个，成了递归形式，把01串01翻转就可以了。

2. 如果变成2，则串形式变成”21111000……”，接下来用2向右合并，合并掉右边的1段后，01串又有两种分歧：

2.1 “2000……”，此时只要01翻转就是情况2的递归形式。

2.2 “0000……”，此时串为原始形态的递归形式。

当递归到最后除开头可能有的2以外，01串仅剩两段时（ex：00001111），需要特别处理。根据开头有无2、0个数奇偶，分四种情况。

开头无2，0个数为奇（ex：000001111）：采用主方法，用右边第一个1向左合并，串变为2111形式，再用2向右合并，最后一定剩一个，至于是0还是2，看1的个数吧。

开头无2，0个数为偶（ex：00001111）：直接合并掉最左边的所有0，会变成1111，肯定不能这么做。解决方法是先隔离最左边的0，当做情况【开头无2，0个数为奇】处理，然后再尝试用处理后结果尝试和0合并。如果1个数为奇则最后可以合并为1，否则剩两个0。

开头有2，0个数为奇（ex：20001111）：向右合并到剩一个0，变成”201111”，接下来用0向右合并，最后尝试和开头的2合并。1个数为奇则剩两个2，1个数为偶剩一个1。

开头有2，0个数为偶（ex：200001111）：不多说，2一直向右合并即可。1个数为偶剩一个2，1个数为奇剩一个0。

得证：非纯色方块段，最后必可合并成2个或者1个方块。

注意，接下来才是本题的解法！

根据上面的证明可知非纯色方块段最后一定可以剩2个或1个方块，那2个能否合并成一个？

引入一个概念：三种颜色分别用0，1，2表示。题意所示合并方式即01合并等于2，02合并等于1，12合并等于0。该合并方式可以用公式表示：

0^1^3=2

0^2^3=1

1^2^3=0

可以很容易找到规律，两颜色合并变成第三种颜色，即代表的数字xor再xor上3后的答案！

该规律有什么用？

只要出现合并就会异或上一个3，一个长度为n的方块段如果合并成1个方块，最后剩余方块的颜色就是n个颜色代表的数字（0，1，2）xor后再xor上n-1个3的值所代表的颜色。

由于一开始我们证明了非纯色方块段必能合并成剩1或2个方块。那最后2个方块能否合并成1个方块，只要看n个数xor后再xor上n-1个3的值是否不为3了（因为x^x^3=3），如果不为3说明n个方块最后能合并成一个，且最后的颜色也可以确定。否则就是两个方块。

最终解法异常简单：三种颜色分别用0，1，2表示，然后先判断n个数是否相同。是的话就输出n；不是就全部xor起来再xor上n-1个3，如果等于3输出2否则输出1。

PS：如果有更加简单巧妙的证明，可以留言~

my code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;

const int MAXN = 5005 ;

char s[MAXN] ;

void solve () {
int n = strlen ( s ) ;
char c = s[0] ;
int ans = n % 2 ? 0 : 3 , cnt = 0 ;
for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
ans ^= s[i] - 'a' ;
if ( s[i] == c ) ++ cnt ;
}
if ( cnt == n ) printf ( "%d\n" , n ) ;
else printf ( "%d\n" , ans == 3 ? 2 : 1 ) ;
}

int main () {
while ( ~scanf ( "%s" , s ) ) solve () ;
}