[Codeforces 724G. Xor-matic Number of the Graph]线性基+计数

[Codeforces 724G. Xor-matic Number of the Graph]线性基+计数

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1. 题目链接

[Codeforces 724G. Xor-matic Number of the Graph]

2. 题意描述

一个边权非负整数的无向连通图，节点编号为1~n，三元组<u,v,s>表示从u到v的路径的异或和为s（可以多次经过同一个顶点或同一条边），求出所有这样的三元组<u,v,s>中关于s的和。

数据范围：1 ≤ n ≤ 10000,0 ≤ m ≤ 200 000,0≤边权≤1018

3. 解题思路

假设这个无向图是一棵树，那么可以通过对每个二进制位单独算贡献。统计出树上的边中，每一位出现的次数，令aj，bj分别表示第j位在树上出现了aj次0、bj次1，那么答案就是∑log2(1018)j=0(aj∗bj∗2j)。

现在考虑这个无向图是一个联通图，那么就可能存在一些环。做法同《[BZOJ 2115 Wc2011 Xor]线性基》，求出所有环的异或值，然后求一次线性基。设线性基的

秩

为r。那么，按位统计答案的时候应该这样做：

如果线性基中的第j位全为0，那么贡献就是∑log2(1018)j=0(aj∗bj∗2j∗2r),即线性基的任意组合都是可以的。

反之，那么贡献就是∑log2(1018)j=0(aj∗bj∗2j∗2r−1+aj∗(aj−1)2∗2r−1+bj∗(bj−1)2∗2r−1)，即根据选的两个点的路径上的异或值为0还是为1，决定线性基的该位选还是不选。

感觉这道题目学到了很多姿势！

4. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ull infl = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
template<typename T> inline void umax(T &a, T b) { a = max(a, b); }
template<typename T> inline void umin(T &a, T b) { a = min(a, b); }

const int MAXN = 100005;
const ull MOD = 1e9 + 7;

typedef pair<int, ull> Edge;
vector<Edge> G[MAXN];
int n, m;
vector<ull> xorv;
ull xpath[MAXN], base[100], qz[200];
bool used[MAXN];
int cnt[100][2];

void dfs(int u, int fa) {
int v; ull w;
used[u] = true;
for (int i = 0; i < G[u].size(); ++i) {
tie(v, w) = G[u][i];
if (v == fa) continue;
if (used[v]) {
xorv.push_back(xpath[v] ^ xpath[u] ^ w);
} else {
xpath[v] = xpath[u] ^ w;
dfs(v, u);
}
}
for (int j = 0; j <= 62; ++j) {
++ cnt[j][xpath[u] >> j & 1];
}
}

int Guass_base() {
int rank = 0;
for (int i = 0; i <= 62; ++i) base[i] = 0;
for (int i = 0; i < xorv.size(); ++i) {
for (int j = 62; j >= 0; --j) {
if (!(xorv[i] >> j & 1)) continue;
if (!base[j]) {
base[j] = xorv[i];
++ rank;
break;
}
xorv[i] ^= base[j];
}
}
return rank;
}

int main() {
#ifdef ___LOCAL_WONZY___
freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif // ___LOCAL_WONZY___
int u, v; ull w;
qz[0] = 1;
for (int i = 1; i < 200; ++i) qz[i] = qz[i - 1] * 2 % MOD;
while (~scanf("%d %d", &n, &m)) {
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
G[i].clear();
used[i] = false;
}
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
scanf("%d %d %llu", &u, &v, &w);
G[u].push_back(Edge(v, w));
G[v].push_back(Edge(u, w));
}
ull ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (used[i]) continue;
xorv.clear();
memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
dfs(i, 0);
sort(xorv.begin(), xorv.end());
xorv.erase(unique(xorv.begin(), xorv.end()), xorv.end());
reverse(xorv.begin(), xorv.end());
int rank = Guass_base();
for (int j = 0; j <= 62; ++j) {
bool sign = false;
for (int k = 0; k <= 62; ++k) sign |= (base[k] >> j & 1);
if (!sign) {
ull temp = (ull)cnt[j][0] * cnt[j][1];
ans = (ans + temp % MOD * qz[j + rank]) % MOD;
} else {
ull temp = (ull)cnt[j][0] * cnt[j][1];
temp += (ull)cnt[j][0] * (cnt[j][0] - 1) / 2;
temp += (ull)cnt[j][1] * (cnt[j][1] - 1) / 2;
ans = (ans + temp % MOD * qz[j + rank - 1]) % MOD;
}
}
}
printf("%llu\n", ans);
}
#ifdef ___LOCAL_WONZY___
cout << "Time elapsed: " << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC * 1000 << "ms." << endl;
#endif // ___LOCAL_WONZY___
return 0;
}