[BZOJ 2115 Wc2011 Xor]线性基

[BZOJ 2115 Wc2011 Xor]线性基

分类：

Math

bitmask

线性基

1. 题目链接

[BZOJ 2115 Wc2011 Xor]

2. 题意描述

一个边权非负整数的无向连通图，节点编号为1~n，求出一条从1号节点到n号节点的路径，使得路径上经过的边的权值XOR.

数据范围：n≤50000,m≤100000,0≤边权≤1018

3. 解题思路

线性基

解决的问题是：给定一个非负整数集合S，从中选出最小的子集T，使得对于集合S中的任意一个元素，都可以由集合T中若干元素XOR而成。

非常类似于线性代数里面的

最大线性无关组

的定义。

然后就是要知道这样一个性质：图中所有环都是可以被异或的，因为我们可以从u出发到环的某一个点t，然后绕环一圈回到点t，然后再从t到u原路返回。那么此时的异或值就是环的异或值。

对于这个题目来说，可以在原图中dfs搞出一个生成树，并求出所有环的异或值。对所有环的向量组求一个线性基。那么答案就是生成树上从1到n的路径异或线性基中的若干向量的最大值。

那么做法就是从高位往低位贪心地选择加入或者不加入。

4. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll infl = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
template<typename T> inline void umax(T &a, T b) { a = max(a, b); }
template<typename T> inline void umin(T &a, T b) { a = min(a, b); }

const int MAXN = 50005;
const int MAXM = 100005;
typedef pair<int, ull> Edge;
vector<Edge> G[MAXN];
int n, m;
ull xpath[MAXN];
vector<ull> xorv;
ull base[100];
bool used[MAXN];

void dfs(int u, int pre) {
used[u] = true;
for (int i = 0; i < G[u].size(); ++i) {
Edge& e = G[u][i];
if (e.first == pre) continue;
if (used[e.first]) {
xorv.push_back(xpath[e.first] ^ xpath[u] ^ e.second);
} else {
xpath[e.first] = xpath[u] ^ e.second;
dfs(e.first, u);
}
}
}

void Guass_base() {
for (int i = 0; i <= 62; ++i) base[i] = 0;
for (int i = 0; i < xorv.size(); ++i) {
for (int j = 62; j >= 0; --j) {
if (!(xorv[i] >> j & 1)) continue;
if (!base[j]) {
base[j] = xorv[i];
break;
}
xorv[i] ^= base[j];
}
}
}

ull query(ull val) {
for (int i = 62; i >= 0; --i) umax(val, val ^ base[i]);
return val;
}

int main() {
#ifdef ___LOCAL_WONZY___
freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif // ___LOCAL_WONZY___
int u, v; ull w;
while (~scanf("%d %d", &n, &m)) {
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
G[i].clear();
used[i] = false;
}
xorv.clear();
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
scanf("%d %d %llu", &u, &v, &w);
G[u].push_back(Edge(v, w));
G[v].push_back(Edge(u, w));
}
dfs(1, 0);
sort(xorv.begin(), xorv.end());
xorv.erase(unique(xorv.begin(), xorv.end()), xorv.end());
Guass_base();
ull ans = query(xpath
);
printf("%llu\n", ans);
}
#ifdef ___LOCAL_WONZY___
cout << "Time elapsed: " << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC * 1000 << "ms." << endl;
#endif // ___LOCAL_WONZY___
return 0;
}