Prim算法 Kruskal算法

一、Prim算法

1、要求：

（1）生成一颗连通的树

（2）生成树：包含全部顶点，V-1条边，没有回路，并且添加一条边会变成有回路

（3）权重和最小

2、过程模拟

最重要：贪心的思想，每一步都要选择权值最小的，这棵树所有跟顶点相连的边中最小的。从根节点开始，让树慢慢的长大。

过程：



从v1开始



跟v1有联系的是4，2，1，选择1，所以到了v4



现在可以选择的边有，跟v1相连接的4，2，跟v4连接的2，8，4，7，3，选择最小的2，选哪个都可以，这里选v2



现在有三个顶点了，v1有4，v2有10，v4有2，8，4，7，选择2，所以从v4连到v3



一直这样做，直到所有顶点访问完

3、思想

每次应该选择哪条边？用dist[]数组来解决。dist[]保存每个树外边的顶点vi到树顶点的集合V的最小的距离，还是用图演示。先从v1开始，树里边只有v1，所以各个顶点到树最短的距离dist[i]，就是我们看到的4，1，2，还有一些没有连接上的（用无穷大表示）



接着把v4收进去，那么比如说v3到树的距离，就要更新，原来它到树的最短距离是4（就是到v1的距离），现在dist[3]变得更短了，变成了2（到v4最近）



就这样每次都更新出这个时刻，每个顶点跟树最近的距离，然后在这里距离中选取最短的那个边，把这个边上的顶点收进去

//不要看这个，这个是我的思路，估计只有我能看懂
从v0开始寻找
for(){
记录所有不是树的顶点到v0的距离
}
创建一个邻接表LGraph来保存树
while（1）{
//找这些跟树有关系的顶点中的最小的边
i=findMinDist_matric();
找不到 break
InsertEdge();//找到就把边插进链表里
更新权值和、顶点是否访问、已收录顶点的信息

for(遍历每一个顶点){
if（没有被访问，还有边）{
if(是否因为加入了一个结点，这个顶点更近树了){
更新dist
更新跟谁连接使他更近树了
}
}
}
}

if（所有的点都访问了）{
输出权值和
}else{
不是树
}

4、代码

/*作用：邻接矩阵最小生成树
使用变量：用dist[]来描述树外边的顶点到树的最短距离、用 Vcount刻画收录了多少个顶点、
用parent[]描述，树外边的顶点到这棵树哪个顶点最近
更新：每次访问完一个结点，Vcount，dist[]，parent都要更新*/
LGraph Prim_matric(MGraph Graph){
LGraph MST;
weightType dist[MaxVertexNum],totalWeight=0;
Vertex parent[MaxVertexNum],i,j;
int Vcount=0;//开始没有收录任何顶点
Edge E;

//初始化，从0这个顶点开始访问
for(i=0;i<Graph->nv;i++){
dist[i]=Graph->G[0][i];
parent[i]=0;
}
dist[0]=0;//访问过的顶点，到这棵树的距离为0
Vcount++;
parent[0]=-1;//等于-1的是树根

//用邻接表来承接树的信息
//创建一个有顶点但是没有边的邻接表
MST=CreateGraph_adjacencyList(Graph->nv);
E=(Edge)malloc(sizeof(struct ENode));

//一直遍历完所有的结点
while(1){
//寻找树外的结点到树的最短距离
i=findMinDist_matric(Graph,dist);
if(i==ERROR)
break;
E->v1=parent[i];
E->v2=i;//连过去的结点
E->weight=dist[i];
InsertEdge_adjacencyList(MST,E);
totalWeight+=dist[i];
dist[i]=0;//标记成访问过
Vcount++;

//找是否能更新距离
for(j=0;j<Graph->nv;j++){
if(dist[j]!=0 &&Graph->G[i][j]<INFINITY){
//未被收录进树+有边
if(Graph->G[i][j]<dist[j]){
dist[j]=Graph->G[i][j];
parent[j]=i;
}
}
}
}
if(Vcount<Graph->nv){
totalWeight=ERROR;
printf("不是最小生成树\n");
}
printf("最小树的权值和%d\n",totalWeight);
return MST;
}

//寻找最小的权值点
Vertex findMinDist_matric(MGraph Graph,weightType dist[]){
Vertex Minv,v;
weightType MinDist=INFINITY;

for(v=0;v<Graph->nv;v++){
if(dist[v]!=0 &&dist[v]<MinDist){
MinDist=dist[v];
Minv=v;
}
}

if(MinDist<INFINITY)
return Minv;
else return ERROR;
}

二、Kruskal算法

1、适用情景：边稀疏的情况

区别Prim：Prim收集的是顶点，Kruskal收集的是边

2、伪代码

viod Kruskal(){
while(没到v-1条边 && 图中还有边){
取出权重最小的边，从图中删除这条边（最小堆）
if（这条边加入树中不构成回路，查并集判断）
加入边
else
扔掉这条边
}
if(没有v-1条边)
Error("不存在生成树");
}

3、代码