【图论】点分治总结&POJ2114Boatherds题解

点分治

适用问题：

统计一棵树上的路径的问题，因为树上的路径需要一个起点和终点来确定，所以朴素算法的复杂度常常为O(n2)，然而，点分治可以将复杂度降为O(nlogn)。

大体思路：

首先我们引入一个“树的重心”的概念

定义一个点的权值为它的最大子树的大小



权值最小的一个点（或许有多个，但在点分治中并不在意这些）。

有一个很显然的性质：以重心为根，最大子树的大小，必然不大于树中总点数的一半

用反证法可以很容易地证明：

如果某个子树的节点个数大于总点数一半，那么那个节点的权值一定会小于等于总点数的一半，即当前的“重心”的权值并非最小，不符合定义。

这样一来，每次操作我们统计所有与重心相连接的路径，再将重心消除，形成一个森林，再递归操作下去，在logn次操作以内，就会全部化成点。

例题：POJ2114Boatherds

题目大意：给出一颗树，求树上是否存在一条总和为k的路径。

分析：

按照点分治的思路，从每一个（不同树的）重心出发，找一颗子树，存储从重心到达当前点的路径和，询问k-sum是否存在于其他的子树上，若存在，就返回结束。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 10010
#define MAXM 10000010
using namespace std;
vector<int> a[MAXN],p[MAXN];
int used[MAXM],times;
int sumx[MAXN],sumy[MAXN],foc[MAXN],cnt,n,k,del[MAXN];
bool vis[MAXN];
int dp(int x,int fa){
vis[x]=1;
for(int i=0;i<a[x].size();i++)
if(a[x][i]!=fa&&del[a[x][i]]!=1)
sumx[x]+=dp(a[x][i],x)+1;
return sumx[x];
}
int dp0(int x,int fa,int sum){
sumy[x]=sum-sumx[x]-1;
for(int i=0;i<a[x].size();i++){
if(a[x][i]==fa||del[a[x][i]]==1)
continue;
sumy[x]=max(sumx[a[x][i]]+1,sumy[x]);
}
int x1=x;
for(int i=0;i<a[x].size();i++){
if(a[x][i]==fa||del[a[x][i]]==1)
continue;
int ans1=dp0(a[x][i],x,sum);
if(sumy[ans1]<sumy[x1])
x1=ans1;
}
return x1;
}
void find_foc(){
cnt=0;
memset(foc,0,sizeof foc);
memset(sumy,0,sizeof sumy);
memset(sumx,0,sizeof sumx);
memset(vis,0,sizeof vis);
for(int i=1;i<=n;i++){
if(del[i]==1){
foc[++cnt]=i;
continue;
}
if(vis[i]==0){
dp(i,0);
foc[++cnt]=dp0(i,0,sumx[i]+1);
}
}
}
bool dfs(int x,int fa,int sum,int rootx){
//if(used.count(k-sum)!=0)
//    return 1;
if(k>=sum&&used[k-sum]==rootx)
return 1;
for(int i=0;i<a[x].size();i++)
if(del[a[x][i]]!=1&&a[x][i]!=fa&&dfs(a[x][i],x,sum+p[x][i],rootx)==1)
return 1;
return 0;
}
void update(int x,int fa,int sum,int rootx){
if(sum<=k)
used[sum]=rootx;
//used.insert(sum);
for(int i=0;i<a[x].size();i++)
if(del[a[x][i]]!=1&&a[x][i]!=fa)
update(a[x][i],x,sum+p[x][i],rootx);
}
bool solve(int x){
if(del[x]==1)
return 0;
//used.clear();
//used.insert(0);
used[0]=times;
for(int i=0;i<a[x].size();i++){
if(del[a[x][i]]==1)
continue;
if(dfs(a[x][i],x,p[x][i],times)==1)
return 1;
update(a[x][i],x,p[x][i],times);
}
return 0;
}
int main(){
//freopen("data.in","r",stdin);
int x,val;
while(SF("%d",&n)!=EOF){
if(n==0)
break;
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i].clear();
p[i].clear();
}
for(int i=1;i<=n;i++){
SF("%d",&x);
while(x){
SF("%d",&val);
a[i].push_back(x);
p[i].push_back(val);

a[x].push_back(i);
p[x].push_back(val);
SF("%d",&x);
}
}
SF("%d",&k);
while(k!=0){
memset(del,0,sizeof del);
find_foc();
int flag=0;
while(cnt<n){
for(int i=1;i<=cnt;i++){
x=foc[i];
times++;
if(solve(x)){
flag=1;
break;
}
del[x]=1;
}
if(flag)
break;
find_foc();
}
if(flag==0)
PF("NAY\n");
else
PF("AYE\n");
SF("%d",&k);
times++;
}
PF(".\n");
}
}