BZOJ-2829信用卡凸包 凸包+向量旋转计算

大家都很强， 可与之共勉 。

题意：

  给定一个规模的矩形，长为a，宽为b，其中它的四个角是一个半径为r的14圆。给您n个这样的图形，以x,y,θ这样的三元组给出，表示其中心坐标（对角线交点），相对于x正半轴的逆时针旋转角度。

  问您这个图形的凸包周长是多少，保留两位小数。

  其中n≤10000，0.1≤a,b≤1000000.0，0.0≤r<min(a4,b4)，|x|,|y|≤1000000.0，0≤θ<2π。

题解：

  把所有矩形（未进行圆滑处理）的顶点找出，然后直接找凸包，最后加上一个圆的周长。因为凸包是凸多边形，内角和是2π。所以这个做法具有正确性。

  那么问题就在于如何找顶点（顺便吐槽网上的做法劳资看不懂），用到向量的旋转。

  （没有画图工具……）

  设要旋转的向量为z，建系化为基底表示为(x,y)，设旋转后的向量为z′。设z与x正半轴的夹角为α，旋转角度为β。

  可以知道的是，旋转前后模长不变，设为r。

  于是原来向量的坐标可以表示为(r⋅cosα,r⋅sinα)

  旋转后的向量可以表示为(r⋅cos(α+β),r⋅sin(α+β))

  由和角公式

z′=(r⋅(cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ),r⋅(sinα⋅cosβ+sinβ⋅cosα))

z′=(r⋅cosα⋅cosβ−r⋅sinα⋅sinβ,r⋅sinα⋅cosβ+r⋅sinβ⋅cosα))

因为

x=r⋅cosα,y=r⋅sinα

所以

z′=(x⋅cosβ−y⋅sinβ,y⋅cosβ+x⋅sinβ))

然后就很简单了……

（话说突然发现自己凸包的板子有一步多余了）

/**************************************************************
Problem: 2829
User: Lazer2001
Language: C++
Result: Accepted
Time:108 ms
Memory:13804 kb
****************************************************************/

# include <bits/stdc++.h>

const double eps = 1e-8 ;
const double Pi = acos ( -1 ) ;

inline int dcmp ( double x )  {
return ( x > -eps ) - ( x < eps ) ;
}

typedef struct Vector  {
double x, y ;
Vector ( )  {   }
Vector ( double x, double y ) : x ( x ), y ( y )  {     }
inline Vector operator - ( const Vector& rhs )  const  {
return Vector ( x - rhs.x, y - rhs.y ) ;
}
inline Vector operator + ( const Vector& rhs )  const  {
return Vector ( x + rhs.x, y + rhs.y ) ;
}
inline double operator % ( const Vector& rhs )  const  {
return x * rhs.y - y * rhs.x ;
}
}  Vector, Point ;

struct Pcmp  {
inline bool operator ( ) ( const Point& a, const Point& b ) const {
return ( a.x == b.x ) ? a.y < b.y : a.x < b.x ;
}
} ;

int Graham ( Point* p, int n, Point* res )  {
std :: sort ( p, p + n, Pcmp ( ) ) ;
register int tp ( 1 ) ;
for ( int i = 0 ; i < 2 ; ++ i )  res [i] = p [i] ;
for ( int i = 2 ; i < n ; ++ i )  {
while ( tp && dcmp ( ( p [i] - res [tp - 1] ) % ( res [tp] - res [tp - 1] ) ) >= 0 )  -- tp ;
res [++ tp] = p [i] ;
}
int len = tp ;
res [++ tp] = p [n - 2] ;
for ( int i = n - 3 ; i >= 0 ; -- i )  {
while ( tp != len && dcmp ( ( p [i] - res [tp - 1] ) % ( res [tp] - res [tp - 1] ) ) >= 0 )  -- tp ;
res [++ tp] = p [i] ;
}
return tp ;
}

# define N 400010

Point p
, con
;

# undef N

inline Point Rotate ( Point a, double rad )  {
return Point ( a.x * cos ( rad ) - a.y * sin ( rad ), a.y * cos ( rad ) + a.x * sin ( rad ) ) ;
}

int main ( )  {

int n ;
scanf ( "%d", & n ) ;
double a, b, r ;
scanf ( "%lf%lf%lf", & a, & b, & r ) ;
a -= 2 * r, b -= 2 * r ;

int cnt ( 0 ) ;

while ( n -- )  {
static double x, y, angle ;
scanf ( "%lf%lf%lf", & x, & y, & angle ) ;
Vector cur = Vector ( x, y ) ;
p [cnt ++] = cur + Rotate ( Vector ( b / 2, a / 2 ), angle ) ;
p [cnt ++] = cur + Rotate ( Vector ( - b / 2, a / 2 ), angle ) ;
p [cnt ++] = cur + Rotate ( Vector ( b / 2, - a / 2 ), angle ) ;
p [cnt ++] = cur + Rotate ( Vector ( - b / 2, - a / 2 ), angle ) ;
}

int ccnt = Graham ( p, cnt, con ) ;

con [ccnt] = con [0] ;
double ans ( 0 ) ;
for ( int i = 0 ; i < ccnt ; ++ i )  {
ans += hypot ( con [i].x - con [i + 1].x, con [i].y - con [i + 1].y ) ;
}
printf ( "%.2lf\n", ans + 2 * r * Pi ) ;
return 0 ;
}