bzoj1597 土地购买【斜率优化dp】

解题思路：

我们先将土地按x值排序。

很容易得到一个O(n2)的dp方程：

f[i]=min(f[j−1]+x[i]∗max(y[k]),1≤j≤i,j≤k≤i，

处理j时倒着循环，每次就可以O(1)得到max(y[k])了。

其实我们可以把每块土地看做平面上的一个点(x,y)，如图：



那么注意到红色的点是可以忽略的，因为它可以和x,y均比它大的点一起买掉，所以我们可以先去掉这些点，那么剩下的点y随x单调递减，方程变为：

f[i]=min(f[j−1]+x[i]∗y[j]),1≤j≤i。

这就是个决策单调性的经典模型了。

若决策j优于决策k(k<j)，那么有

f[j−1]+x[i]∗y[j]<f[k−1]+x[i]∗y[k]

移项得

f[j−1]−f[k−1]<x[i]∗(y[k]−y[j])

即是：

x[i]>f[j−1]−f[k−1]y[k]−y[j]

用单调队列维护即可。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<vector>
#include<set>
#include<complex>
#define ll long long
using namespace std;

int getint()
{
int i=0,f=1;char c;
for(c=getchar();c!='-'&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
if(c=='-')f=-1,c=getchar();
for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
return i*f;
}

const int N=50005;
const ll INF=1e18;
struct node
{
int x,y;
inline friend bool operator < (const node &a,const node &b)
{
return a.x<b.x;
}
}a
;
int n,q
;
ll f
;

ll calc(int i,int j)
{
return f[j-1]+1ll*a[i].x*a[j].y;
}

bool check(int i,int j,int k)
{
return 1ll*(f[i-1]-f[j-1])*(a[k].y-a[j].y)<1ll*(f[j-1]-f[k-1])*(a[j].y-a[i].y);
}

void solve()
{
sort(a+1,a+n+1);
int top=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(top&&a[i].y>=a[top].y)top--;
a[++top]=a[i];
}
n=top;
int head=1,tail=1;
q[1]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(head<tail&&calc(i,q[head+1])<calc(i,q[head]))head++;
f[i]=calc(i,q[head]);
while(head<tail&&check(i+1,q[tail],q[tail-1]))tail--;
q[++tail]=i+1;
}
}

int main()
{
//freopen("lx.in","r",stdin);
//freopen("lx.out","w",stdout);
n=getint();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a[i].x=getint(),a[i].y=getint();
f[i]=INF;
}
solve();
cout<<f
;
return 0;
}