洛谷 p1403 [AHOI2005]约数研究

题目描述

科学家们在Samuel星球上的探险得到了丰富的能源储备，这使得空间站中大型计算机“Samuel II”的长时间运算成为了可能。由于在去年一年的辛苦工作取得了不错的成绩，小联被允许用“Samuel II”进行数学研究。

小联最近在研究和约数有关的问题，他统计每个正数N的约数的个数，并以f(N)来表示。例如12的约数有1、2、3、4、6、12。因此f(12)=6。下表给出了一些f(N)的取值：



f(n)表示n的约数个数，现在给出n，要求求出f(1)到f(n)的总和。

输入输出格式

输入格式：

输入一行，一个整数n

输出格式：

输出一个整数，表示总和

一开始看到这道题，兴奋地开始穷举..RE之后把ans从int变成了long long,然后RE就都变成TLE了…

这是伪代码：

for(int i=1;i<=n;i++)
f[i]=1;
for(int x=1;x<=n;x++)
{
for(int i=2;i<=x;i++)
if(x%i==0) f[x]++;
}
long long ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans+=f[i];

然后认认真真的观察了一下,其实是道很水很水的数论(或许不算数论)

拿6 即在[1,6]这个范围内 来举例：

约数有1的数有1，2，3，4，5，6 =6

约数有2的数有2，4，6 =3

约数有3的数有3，6 =2

没有约数有4，5的数

约数有6的数有1个:6

不难发现规律：在[1,x]的范围内 约数有i的数的个数为 f(i)=⌊x/i⌋.

设 sum(n)=∑ni=1f(i)

即可得到通项公式：

sum(n)=∑ni=1⌊n/i⌋

Ac代码：

#include<cstdio>

const int N=1000000+5;
int n,f
;

int main()
{
long long ans=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
ans+=n/i;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}