三维几何基础（3D？）

二维几何我们多少有了一点了解，今天又是周天，于是又开始知识普及了。。。

二维几何中的很多操作也都适合三维几何，比如点+向量=点，向量+向量=向量，等等

struct node{
double x,y,z;
node (double xx=0,double yy=0,double zz=0)
{
x=xx; y=yy; z=zz;
}
};

node operator + (const node &a,const node &b) {return node(a.x+b.x,a.y+b.y,a.z+b.z);}
node operator - (const node &a,const node &b) {return node(a.x-b.x,a.y-b.y,a.z-b.z);}
node operator * (const node &a,const double &b) {return node(a.x*b,a.y*b,a.z*b);}
node operator / (const node &a,const double &b) {return node(a.x/b,a.y/b,a.z/b);}

直线

直线仍然可以用参数方程（点和向量）来表示，并且射线和线段仍然可以看成“参数有取值范围”的直线

平面

通常用点法式（p0，n）来描述一个平面

其中p0是平面上一个点，向量n是平面的法向量

每个平面把空间分成了两个部分，我们用点法式表示其中一个半空间

法向量

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

三维点积

三维点积的定义和二维的非常类似，而且也可以用点积计算向量的长度和夹角：

double Dot(const node &a,const node &b)
{
return a.x*b.x+a.y*b.y+a.z*b.z;
}
double Length(const node &a)
{
return sqrt(Dot(a,a));
}
double Angle(const node &a,const node &b)
{
return acos(Dot(a,b)/Len(a)/Len(b));
}

用三维点积可以解决很多基本问题

过定点垂直于定直线的平面（平面的法向量就是这条直线）

直线和平面的夹角

两平面的夹角

两直线的夹角

（与平面的夹角都可以转化成与法向量的夹角）

点到平面的距离



如图所示，把向量p-p0投影到向量n上可得：p到平面的有向距离为Dot(n,p-p0)/Length(n)

因为Dot(n,p-p0)=Len(p-p0) * Len(n) * cosα

//点p到p0-n的平面的距离
double dis1(const node p,const node p0,const node n)
{
return fabs(Dot(p-p0,n)/Length(p-p0));
}

点到平面上的投影

有了距离，投影点本身就不难求了，设点p在平面上的投影点是pp，则p-pp平行于n，且p-pp=dn，其中d就是p到平面的有向距离

下面直接给出代码：

//点p到平面的投影
double dis2(const node p,const node p0,const node n)
{
return p-n*Dot(p-p0,n);
}

直线和平面的交点

p，p0是平面上的任意点

设平面的方程是：Dot(p-p0,n)=0

过点p1和p2 的直线可以表示为：p=p1+t*(p2-p1)

联立得：

t=Dot(n,p0-p1)/Dot(n,p2-p1)

node JD(node p1,node p2,node p0,node n)
{
node v=p2-p1;
double t=(Dot(n,p0-p1)/Dot(n,p2-p1));    //判断分母是否为0
return p1+v*t;         //如果是线段，判断t是不是在0和1之间
}

三维叉积

三维空间里也有叉积的概念，但形势和二维叉积大不一样，ta是一个向量

node Cross(node A,node B)
{
return node(A.y*B.z-A.z*B.y,A.z*B.x-A.x*B.z,A.x*B.y-A.y*B.x);
}

三维叉积也是一种很有力的工具：

首先我们可以求三角形面积

过不共线三点的平面：法向量为Cross(p2-p0,p1-p0)，任取一个点就可以得到平面的点法式

判断点是否在三角形内

double Area2(node A,node B,node C)    //两倍的面积
{
return Length(Cross(B-A,C-A));
}

bool Init(node p,node p2,node p1,node p2)
{
double area1=Area2(p,p0,p1);
double area2=Area2(p,p1,p2);
double area3=Area2(p,p2,p0);
return dcmp(area1+area2+area3-Area2(p0,p1,p2))==0;
}

判断线段和三角形是否结交

bool XJ(node p0,node p1,node p2,node A,node B,node P)
{
node n=Cross(p1-p0,p2-p0);
if (dcmp(Dot(n,B-A))==0) return 0;    //线段AB和平面p0p1p2平行或共线
else                                  //平面A和直线p1-p2有唯一交点
{
double t=Dot(n,p0-A)/Dot(n,B-A);
if (dcmp(t)<0 || dcmp(t-1)>0) return 0;  //交点不在线段AB上
P=A+(B-A)*T;                     //计算交点
return Init(P,p0,p1,p2);         //判断交点是否在三角形内
}
}

四面体体积

double Volume(node A,node B,node C,node D)
{
double ans=Dot(Cross(B-A,C-A),D-A);
return ans/6.0;
}

多面体的体积：

平面多边形的面积等于三角形的有向面积之和，空间多面体也类似

不过要首先需要规定好多面体的存储方式：

一种简单的方式就是点-面，即一个顶点数组V和面数组F

V里保存着各个顶点的空间坐标，F数组保存着各个面的3个顶点在V数组中的索引