【算法】模式串的匹配-KMP算法

KMP算法-模式串的匹配问题其实做题的时候很简单，就是利用Next函数求出Next[j]的值，然后根据值去看模式串，就知道他们的匹配过程。在这里，主要探讨一下KMP的原理过程和代码。

KMP算法要解决的问题就是在字符串（也叫主串）中的模式（pattern）定位问题。说简单点就是我们平时常说的关键字搜索。模式串就是关键字（接下来称它为P），如果它在一个主串（接下来称为T）中出现，就返回它的具体位置，否则返回-1（常用手段）。



 我们可以这样初始化：
  


之后我们只需要比较i指针指向的字符和j指针指向的字符是否一致。如果一致就都向后移动，如果不一致，如下图：
 


i和j不匹配，如果是人为来寻找的话，肯定不会再把i移动回第1位，因为主串匹配失败的位置前面除了第一个A之外再也没有A了，我们为什么能知道主串前面只有一个A？因为我们已经知道前面三个字符都是匹配的！（这很重要）。移动过去肯定也是不匹配的！有一个想法，i可以不动，我们只需要移动j即可，如下图：
 


 
上面的这种情况还是比较理想的情况，我们最多也就多比较了再次。但假如是在主串“SSSSSSSSSSSSSA”中查找“SSSSB”，比较到最后一个才知道不匹配，然后i回溯，这个的效率是显然是最低的。
 
大牛们是无法忍受“暴力破解”这种低效的手段的，于是他们三个研究出了KMP算法。其思想就如同我们上边所看到的一样：“利用已经部分匹配这个有效信息，保持i指针不回溯，通过修改j指针，让模式串尽量地移动到有效的位置。”
 
所以，整个KMP的重点就在于当某一个字符与主串不匹配时，我们应该知道j指针要移动到哪？
 
接下来我们自己来发现j的移动规律：
  


如图：C和D不匹配了，我们要把j移动到哪？显然是第1位。为什么？因为前面有一个A相同啊：
  


如下图也是一样的情况：
  


可以把j指针移动到第2位，因为前面有两个字母是一样的：
  


至此我们可以大概看出一点端倪，当匹配失败时，j要移动的下一个位置k。存在着这样的性质：最前面的k个字符和j之前的最后k个字符是一样的。
如果用数学公式来表示是这样的
P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]
这个相当重要，如果觉得不好记的话，可以通过下图来理解：
  


弄明白了这个就应该可能明白为什么可以直接将j移动到k位置了。
因为:
当T[i] != P[j]时
有T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]
由P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]
必然：T[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1]
公式很无聊，能看明白就行了，不需要记住。
这一段只是为了证明我们为什么可以直接将j移动到k而无须再比较前面的k个字符。
 
好，接下来就是重点了，怎么求这个（这些）k呢？因为在P的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说我们要计算每一个位置j对应的k，所以用一个数组next来保存，next[j] = k，表示当T[i] != P[j]时，j指针的下一个位置。
我们自己来推导思路，现在要始终记住一点，next[j]的值（也就是k）表示，当P[j] != T[i]时，j指针的下一步移动位置。
先来看第一个：当j为0时，如果这时候不匹配，怎么办？
  


像上图这种情况，j已经在最左边了，不可能再移动了，这时候要应该是i指针后移。所以在代码中才会有next[0]= -1;这个初始化。
如果是当j为1的时候呢？
  


显然，j指针一定是后移到0位置的。因为它前面也就只有这一个位置了~~~
 
下面这个是最重要的，请看如下图：
   

 


 
请仔细对比这两个图。
我们发现一个规律：
当P[k] == P[j]时，
有next[j+1] == next[j] + 1
其实这个是可以证明的：
因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）
这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。
即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1。
这里的公式不是很好懂，还是看图会容易理解些。
 
那如果P[k] != P[j]呢？比如下图所示：
 

 
像这种情况，如果你从代码上看应该是这一句：k = next[k];为什么是这样子？你看下面应该就明白了。
  


现在你应该知道为什么要k = next[k]了吧！像上边的例子，我们已经不可能找到[ A，B，A，B ]这个最长的后缀串了，但我们还是可能找到[ A，B ]、[ B ]这样的前缀串的。所以这个过程像不像在定位[ A，B，A，C ]这个串，当C和主串不一样了（也就是k位置不一样了），那当然是把指针移动到next[k]啦。
 
有了next数组之后就一切好办了，我们可以动手写KMP算法了：
public static int KMP(String ts, String ps) {

char[] t = ts.toCharArray();

char[] p = ps.toCharArray();

int i = 0; // 主串的位置

int j = 0; // 模式串的位置

int[] next = getNext(ps);

while (i < t.length && j < p.length) {

if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0

i++;

j++;

} else {

// i不需要回溯了

// i = i - j + 1;

j = next[j]; // j回到指定位置

}

}

if (j == p.length) {

return i - j;

} else {

return -1;

}

}