树状数组 BIT

树状数组:用来求数组中的连续和 

从一般O(n)优化到 - O(log n)

【方法】重新构造一个c[],用来控制读入的原数组a[](是某些数据的和)

怎么控制？

如果它二进制末尾0个数用k表示，

c[i]控制的数共2^k个数，从a[i]开始,a[i-1],a[i-2]...

举例：

c[1] = a[1];

c[2] = a[2] + a[1];

c[4] = a[4] + a[3] + a[2] + a[1];

c[8] = a[8] + a[7] + a[6] + .. + a[1];

c[16] = a[16] + a[15] + ... a[1];

更加具体一些：

c[6] = a[6] + a[5];    //6(110)末尾有一个零，控制(2^1=2)个数

c[10] = a[10] + a[9];  //10(1010)末尾有一个零，控制2^1=2个数

c[12] = a[12] + a[11] + a[10] + a[9]; //12(1100)末尾2个0，控制4个数

c[14] = a[14] + a[13]; //14(1110)末尾有一个零，控制2个数

核心函数：

int lowbit(int x) {
return x&(-x); // 算2^k, k是x的二进制 末尾0的个数

}

例:

10的二进制是1010，末尾有1个0，

所以lowbit(10)=2的1次方=2，所以c[10]控制2个数：a[10]+a[9]

16的二进制是10000，末尾有4个0，

所以lowbit(16)=2的4次方=16，所以c[16]控制16个数，a[16]+...a[1];

--------------------------------------------------------------------

[修改操作]：向叶结点走

修改a[3]时，修改c[3], c[4], c[8], c[16]; [要走到n]

修改a[5]时，修改c[5], c[8], c[16]

void update(int i, int data) { //修改第i个数，增加data
while(i <= n) {
c[i] += data;
i += lowbit(i);
}
}

[求和操作]：向根结点走

int sum(int i) { //求a[1]加到a[i]
int s = 0;
while(i >= 1){
s += c[i]; //从c[i]开始，往下加
i -= lowbit(i);
}
return s;
}

例如:

求a[1] +..+ a[9]:

首先+c[9];

9 = 9 - lowbit(9) = 8;所以再+c[8];

8 = 8 - lowbit(8) = 0;结束;

*求a[5]+a[6]+....a[98] : 结果就是 sum(98) - sum(5-1);

【Code】求区间和

#include <iostream>
using namespace std;

int a[10001], c[10001];
int n;

inline int lowbit(const int x) {
return x & (-x);
}

void update(int i, int data) { //修改第i个数，增加data
while(i <= n) {
c[i] += data;
i += lowbit(i);
}
}

int sum(int i) { //求a[1]加到a[i]
int s = 0;
while(i >= 1){
s += c[i]; //从c[i]开始，往下加
i -= lowbit(i);
}
return s;
}
int main() {
int q, l, r;
cin >> n;
for(int i=1; i<=n; i++) {
cin >> a[i];
update(i, a[i]);
}
cin >> q;  //Q次询问
while(q --) {
cin >> l >> r; //询问区间[l, r]中数之和
cout << sum(r) - sum(l-1) << endl;
}
return 0;
}

【模版】树状数组1

题目描述

已知一个数列，需要进行下面两种操作：

1.将某一个数加上x

2.求出某区间每一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含3个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x k 含义：将第x个数加上k

操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 

5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4

输出样例#1： 

14
16

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000
-----------------------------
【Code】与之前差不多

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define MAXN 500010

int n, m;
int a[MAXN], c[MAXN];

inline int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}

void update(int i, int data) {
while(i <= n) {
c[i] += data;
i += lowbit(i);
}
}

int sum(int x) {
int s = 0;
while(x > 0) {
s += c[x];
x -= lowbit(x);
}
return s;
}

int main() {
int flg, x, y;
cin >> n >> m;
for(int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
update(i, a[i]);
}
for(int i=1; i<=m; i++) {
cin >> flg >> x >> y;
if(flg == 1) update(x, y);
else if(flg == 2) printf("%d\n", sum(y) - sum(x-1));
}
return 0;
}

【模版】树状数组2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某区间每一个数数加上x

2.求出某一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含2或4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k

操作2： 格式：2 x 含义：输出第x个数的值

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 

5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4

输出样例#1： 

6
10

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

【解法】差分 + BIT

B[i]表示A[i] - A[i-1]

那么A[i] 就可以表示成B[1]+B[2]+..+B[i]

操作2就可以用树状数组解决前缀和

操作1是区间加，可以直接B[L]+k,B[R]+k

可以自己思考一下，区间加，中间这些数差不变，两端需要变.

操作1当然用Update更新.

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define MAXN 500010

int N, Q, C[MAXN];

inline int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}

int SUM(int i) {
int sum = 0;
while(i) {
sum += C[i];
i -= lowbit(i);
}
return sum;
}

int Update(int i, int data) {
while(i <= N) {
C[i] += data;
i += lowbit(i);
}
}

int Add(int L, int R, int k) {
Update(L, k);
Update(R+1, -k);
}

inline int Query(int x) {
return SUM(x);
}

int main() {
scanf("%d %d", &N, &Q);
int last = 0, tmp;
for(int i=1; i<=N; i++) {
scanf("%d", &tmp);
Update(i, tmp - last);
last = tmp;
}
int opt, x, y, k;
for(int i=1; i<=Q; i++) {
scanf("%d", &opt);
if(opt == 1) {
scanf("%d%d%d", &x, &y, &k);
Add(x, y, k);
} else {
scanf("%d", &x);
printf("%d\n", Query(x));
}
}
return 0;
}