浮点数中的精度问题与所谓的"double a=0"

今天，在oj上刷水题（滑稽）的时候，看到一道题目，题目链接给出

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求一元二次方程

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【题目描述】

利用公式x1=−b+b2−4ac√2a，x2=−b−b2−4ac√2ax1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a，求一元二次方程ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0的根，其中a不等于0。结果要求精确到小数点后5位。

【输入】

输入一行，包含三个浮点数a, b, c（它们之间以一个空格分开），分别表示方程ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0的系数。

【输出】

输出一行，表示方程的解。

若两个实根相等，则输出形式为：“x1=x2=…x1=x2=…”；

若两个实根不等，在满足根小者在前的原则，则输出形式为：“x1=…;x2=…x1=…;x2=…“；

若无实根输出“No answer!”。

所有输出部分要求精确到小数点后5位，数字、符号之间没有空格。

【输入样例】

-15.97 19.69 12.02

【输出样例】

x1=-0.44781;x2=1.68075

一看，心里暗暗发笑，这不是很简单嘛？都给出公式了。只需要一个if语句判断b*b-4*a*c是否小于零就行了。再用STL简单交换下两数的位置。

第一波代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
double a,b,c;
scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&c);
double pfg=b*b-4*a*c;
if(pfg<0)printf("No answer!");
else
{double x1=(-b+sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a),x2=(-b-sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a);
if(x1>x2)swap(x2,x1);
printf("x1=%.5lf;x2=%.5lf",x1,x2);}
return 0;
}

但是Get上去后一看。。。



80分，什么鬼？

后来手工计算了下，发现如果结果不为零但是<=0.000001时，会输出一个很尴尬的数据。。。


哦，-0.00000（滑稽）。

我们先来观察一下double类型的数据

其实我们了解下计算机中是怎样存储浮点数的，这个问题的答案就很明了了。

双精度浮点数(8byte)表示法：１bit符号位，11bit指数位(用阶码表示)，52bit小数部分(尾数)。

所以一个规格化的单精度浮点数x的真值为x=((-1)^S)(1.M)(2^(E-127))

显然，x永远也不可能为绝对0。 针对上面的描述，当阶码E为全0且尾数M也全0时，可以认为表示的真值x为计算机中的绝对0值,再结合符号位S,有正0和负0之分；

解释二：见http://learn.akae.cn/media/ch14s04.html

每个浮点数的表示都不唯一，例如17=(0.10001)2×25=(0.010001)2×26，这样给计算机处理增加了复杂性。为了解决这个问题，我们规定尾数部分的最高位必须是1，也就是说尾数必须以0.1开头，对指数做相应的调整，这称为正规化（Normalize）。由于尾数部分的最高位必须是1，这个1就不必保存了，可以节省出一位来用于提高精度，我们说最高位的1是隐含的（Implied）。这样17就只有一种表示方法了，指数部分应该是16+5=21=(10101)2，尾数部分去掉最高位的1是0001：

那么，如何解决此问题呢

利用差值的绝对值的精度来判断。

具体就是：f1和f2是两个浮点数，precision是我们自己设置的精度，比如1e-6。

则可以用 fabs(f1-f2)<=precision 来判断f1和f2是否相等。fabs是cmath库里的的一个浮点值绝对值。

如果要求更高的精度，则把precision定得更小就行了。

所以，代码可以如下进行（上面的代码还忽略了x1=x2的情况）

#include <cstdio>
#include <cmath>
#define eps1 1e-10
#define eps2 1e-6
using namespace std;
int main(){
double a,b,c,x1,x2,g;
scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&c);
g=b*b-4*a*c;
if(g<0&&fabs(g)>eps1)printf("No answer!");
else if(fabs(g)<eps1){
x1=-b/(2*a);
if(fabs(x1)<eps2)
printf("x1=x2=%.5lf",0);
else
printf("x1=x2=%.5lf",x1);
}
else{
x1=(-b+sqrt(g))/(2*a);
x2=(-b-sqrt(g))/(2*a);
if(fabs(x1)<eps2)x1=fabs(x1);
if(fabs(x2)<eps2)x2=fabs(x2);
if(x1<x2)printf("x1=%.5lf;x2=%.5lf",x1,x2);
else printf("x1=%.5lf;x2=%.5lf",x2,x1);
}
return 0;
}

（小插曲：刚刚提交的时候，把CSDN里的全文复制进去了awa，编译错误了）

好了，AC了。



收获：浮点数计算有偏差，fabs的合理运用很重要！

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