不定积分

不定积分的定义

若在某个区间上， 函数 F(x) 和 f(x) 成立关系

F′(x)=f(x)

或等价的，

dF(x)=f(x)dx

则称 F(x) 是 f(x) 在这个区间上的一个原函数。

一个函数 f(x) 的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作 ∫f(x)dx。

不定积分的线性性质

若函数 f(x) 和 g(x) 的原函数都存在，则 ∀k1,k2∈R, 函数 k1f(x)+k2g(x) 的原函数也存在，且有

∫[k1f(x)+k2g(x)]dx=k1∫f(x)dx+k2∫g(x)dx

证明：

设 F(x) 和 G(x) 分别为 f(x) 和 g(x) 的一个原函数，那么 k1F(x)+k2G(x) 是 k1f(x)+k2g(x) 的一个原函数，因此有

(1) ∫[k1f(x)+k2g(x)]dx=k1F(x)+k2G(x)+C

(2) k1∫f(x)dx+k2∫g(x)dx

=k1(F(x)+C1)+k2(G(x)+C2)=k1F(x)+k2G(x)+(k1C1+k2C2)

其中 C,C1,C2 代表任意常数， 所以上面两式的右端所表示的函数值相同。

第一类换元积分法

若 f(x) 可以通过等价变形化成 f~(g(x))g′(x)，且函数 f~(u) 的原函数是 F~(u)， 则：

[F~(g(x))]′=F~′(g(x))g′(x)=f~(g(x))g′(x)=f(x)

因此： ∫f(x)dx=∫f~(g(x))g′(x)dx=F~(g(x))+C

第二类换元积分法

若 x=φ(t) 可导，φ′(t)≠0， 则 x=φ(t) 必存在反函数 t=φ−1(x) ， 若

∫f(φ(t))φ′(t)dt=F~(t)+C， 则

ddxF~(φ−1(x))

=F~′(t)dtdx

=f(φ(t))φ′(t)dtdx

=f(φ(t))φ′(t)1φ′(t)

=f(φ(t))=f(x)

因此 ∫f(x)dx=F~(φ−1(x))+C

分部积分法

设 u(x),v(x) 可微，则： d[u(x)v(x)]=v(x)[du(x)]+u(x)[dv(x)]

⇒∫d[u(x)v(x)]=∫v(x)[du(x)]+∫u(x)[dv(x)]

⇒u(x)v(x)=∫v(x)[du(x)]+∫u(x)[dv(x)]

⇒∫u(x)[dv(x)]=u(x)v(x)−∫v(x)[du(x)]

⇒∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx