高数 02.05函数的微分

第二章第五节函数的微分

一、微分的概念

二、微分的几何意义

三、微分运算法则

一、微分的概念

引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x 0 变到x 0 +Δx,问此薄片面积改变了多少?

设薄片边长为x,面积为A,则A=x 2 ，当边长x 0 取得增量Δx时,面积的增量为:

ΔA=(x 0 +Δx) 2 −x 2 0

=2x 0 Δx        +(Δx) 2       

关于Δx的线性主部Δx→0时为高阶无穷小

故ΔA≈2x 0 Δx

2x 0 Δx称为函数在x 0 的微分

定义:若函数y=f(x)在点x 0 的增量可表示为Δy=f(x 0 +Δx)−f(x 0 )=AΔx+o(Δx)(A为不依赖与Δx的常数)则称函数y=f(x)在点x 0 处可微，而AΔx称为f(x)在点x 0 的微分,记作dy或df,即dy=AΔx定理：函数y=f(x)在点x 0 可微的充要条件是y=f(x)在点x 0 处可导,且A=f ′ (x 0 ),即dy=f ′ (x 0 )Δx证：必要性已知y=f(x)在点x 0 可微,则Δy=f(x 0 +Δx)−f(x 0 )=AΔx+o(Δx)∴lim Δx→0 ΔyΔx =lim Δx→0 (A+o(Δx)Δx )=A故y=f(x)在点x 0 处可导,且f ′ (x 0 )=A 充分性:已知y=f(x)在点x 0 处可导,则lim Δx→0 ΔyΔx =f ′ (x 0 )∵ΔyΔx =f ′ (x 0 )+α(lim Δx→0 α=0)故Δy=f ′ (x 0 )Δx+αΔx=f ′ (x 0 )Δx            +o(Δx)线性主部 (f ′ (x 0 )≠0时)即dy=f ′ (x 0 )Δx 说明：Δy=f ′ (x 0 )Δx+o(Δx)dy=f ′ (x 0 )Δx当f ′ (x 0 )≠0时,lim Δx→0 Δydy =lim Δx→0 Δyf ′ (x 0 )Δx =1f ′ (x 0 ) lim Δx→0 ΔyΔx =1所以Δx→0时,Δy与dy是等价无穷小,故当|Δx|很小时,有近似公式：Δy≈dy

二、微分的几何意义

切线纵坐标的增量

dy=f ′ (x 0 )Δx=tanα⋅Δx

当Δx很小时,Δy≈dy

当y=x时,Δy=Δx= 记 dx

称Δx为自变量的微分,记作dx

则有dy=f ′ (x)dx

从而dydx =f ′ (x)[导数也叫作微商]

例如,y=x 3 ,dy| x=2dx=0.02 =3x 2 ⋅dx| x=2dx=0.02 =0.24

基本初等函数的微分公式

导数公式	微分公式
(x μ ) ′ =μx μ−1	d(x μ )=μx μ−1 dx
(sinx) ′ =cosx	d(sinx)=cosxdx
(cosx) ′ =−sinx	d(cosx)=−sinxdx
(tanx) ′ =sec 2 x	d(tanx)=sec 2 xdx
(cotx) ′ =−csc 2 x	d(cotx)=−csc 2 xdx
(secx) ′ =secxtanx	d(secx)=secxtanxdx
(cscx) ′ =−cscxcotx	d(cscx)=−cscxcotxdx
(a x ) ′ =a x lna	d(a x )=a x lnadx
(e x ) ′ =e x	d(e x )=e x dx
(log a x) ′ =1xlna	d(log a x)=1xlna dx
(lnx) ′ =1x	d(lnx)=1x dx
(arcsinx) ′ =11−x 2 − − − − − √	d(arcsinx)=11−x 2 − − − − − √ dx
(arccosx) ′ =−11−x 2 − − − − − √	d(arccosx)=−11−x 2 − − − − − √ dx
(arctanx) ′ =11+x 2	d(arctanx)=11+x 2 dx
(arccotx) ′ =−11+x 2	d(arccotx)=−11+x 2 dx

三、微分运算法则

设u(x),v(x)均可微,则

1.d(u±v)=du±dv2.d(Cu)=Cdu(C为常数)3.d(uv)=vdu+udv4.d(uv )=vdu−udvv 2 (v≠0)

5.复合函数的微分y=f(u),u=φ(x)分别可微则复合函数y=f[φ(x)]的微分为dy=y ′ x dx=f ′ (u)φ ′ (x)dx

φ ′ (x)dx→du

dy=f ′ (u)du微分形式不变

例1.y=ln(1+e x 2 )

解:dy=11+e x 2 d(1+e x 2 )=e x 2 1+e x 2 d(x 2 )=2e x 2 1+e x 2 dx

例2.设ysinx−cos(x−y)=0,求dy.

解：利用一阶微分形式不变性,有d(ysinx−cos(x−y))=0d(ysinx)−d(cos(x−y))=0dysinx+yd(sinx)+sin(x−y)(dx−dy)=0dysinx+ycosxdx+sin(x−y)(dx−dy)=0dy=ycosx+sin(x−y)sin(x−y)−sinx dx

例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:

(1)d(12 x 2 +C)=xdx

(2)d(1ω sinωt+C)=cosωtdt

说明：上述微分的反问题是不定积分要研究的内容

注意：数学中的反问题往往出现多值性