高数 02.04隐函数的导数

第二章第四节隐函数的导数

一、隐函数的导数的概念

二、隐函数导数的求法

一、隐函数的导数的概念

若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数，则称此函数为隐函数.由y=f(x)表示的函数，称为显函数.例如，x−y 3 −1=0可确定显函数y=1−x − − − − − √ 3 y 5 +2y−x−3x 7 =0可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.

隐函数求导方法:F(x,y)=0⇓两边对x求导ddx F(x,y)=0(含导函数y ′ 的方程)

二、隐函数导数的求法

例1.求由方程y 5 +2y−x−3x 7 =0确定的隐函数y=y(x)在x=0处的导数dydx ∣ ∣ ∣ x=0 .

解：方程两边对x求导ddx (y 5 +2y−x−3x 7 )=0得5y 4 dydx +2dydx −1−21x 6 =0dydx =1+21x 6 5y 4 +2 ∵x=0,y=0,故dydx ∣ ∣ ∣ x=0 =12

例2.求椭圆x 2 16 +y 2 9 =1在点(2,32 3 √ )处的切线方程.

解:椭圆方程两边对x求导x8 +29 ydydx =0dydx =−916 xy

∴y ′ ∣ ∣ x=2y=32 3 √ =−916 xy ∣ ∣ ∣ x=2y=32 3 √ =−3 √ 4

故切线方程为y−32 3 √ =−3 √ 4 (x−2)

即3 √ x+4y−83 √ =0

例3.求y=x sinx (x>0)的导数.

解：两边取对数，化为隐函数lny=sinx⋅lnx1y y ′ =cosx⋅lnx+sinxx y ′ =x sinx (cosx⋅lnx+sinxx )

说明：1)对幂指函数y=u v 可用对数求导法求导.lny=vlnu1y y ′ =v ′ lnu+u ′ vu y ′ =u v (v ′ lnu+u ′ vu )注意：y=u v lnu⋅v ′ − − − − − − − − +vu v−1 ⋅u ′ − − − − − − − − ↗↖按指数函数求导公式按幂函数求导公式2)有些显函数用对数求导法求导很方便例如，y=(ab ) x (bx ) a (xa ) b (a>0,b>0,ab ≠1)⇓两边取对数lny=xlnab +a[lnb−lnx]+b[lnx−lna]1y y ′ =lnab −ax +bx y ′ =(ab ) x (bx ) a (xa ) b (lnab −ax +bx )

例4设y=y(x)由方程e y +xy=e确定，求y ′ (0)，y ′′ (0)

解：方程两边对x求导，得e y y ′ +y+xy ′ =0再求导，得e y y ′ 2 +(e y +x)y ′′ +2y ′ =0∵x=0,y=1∴y ′ (0)=−1e ,y ′′ (0)=1e 2

内容小结

1.隐函数求导法则–直接对方程两边求导

2.对数求导法：适用于幂指数函数或某些连乘、连除表示的函数