高数 02.03高阶导数

第二章第三节高阶导数

一、高阶导数的概念

引例：变速直线运动s=s(t)速度v=dsdt ,即v=s ′ 加速度a=dvdt =ddt (dsdt )即a=(s ′ ) ′

定义.若函数y=f(x)的导数y ′ =f ′ (x)可导，则称f ′ (x)的导数为f(x)的二阶导数，记作y′′或d 2 ydx 2 ,即y ′′ =(y ′ ) ′ 或d 2 ydx 2 =ddx (dydx )类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推，n−1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作y ′′′ ,y (4) ,⋯,y (n) 或d 3 ydx 3 ,d 4 ydx 4 ,⋯,d n ydx n

例1.设y=ax+b,求y ′′ .

解：y ′ =a,y ′′ =0

例2.设s=sinωt,求s ′′ .

解：s ′ =ωcosωt,s ′′ =−ω 2 sinωt

例3.设y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +⋯+a n x n ,求y (n) .

解：y ′ =a 1 +2a 2 x 1 +⋯+na n x n−1 y (2) =2⋅1a 2 +⋯+n⋅(n−1)a n x (n−2) ⋯y (n) =n!⋅a n x (n−n) =a n ⋅n!

思考：设y=x μ (μ为任意常数)，问y (n) =?

(x μ ) (n) =μ(μ−1)(μ−2)⋯(m−n+1)x μ−n

例4.设y=e ax ,求y (n) .

解：y ′ =ae ax ,y ′′ =a 2 e ax y (n) =a n e a x特别有：(e x ) (n) =e x

例5.设y=ln(1+x),求y (3) .

解：y ′ =11+x y ′′ =−(1+x) −2 y (3) =2(1+x) 3

二、高阶导数的运算法则

设函数u=u(x)及v=v(x)都有n阶导数,则1.(u±v) (n) =u (n) ±v (n) 2.(Cu) (n) =Cu (n) (C为常数)3.(uv) (n) =u (n) v+nu (n−1) v ′ +n(n−1)2! u (n−2) v ′′ +⋯+n(n−1)⋯(n−k+1)k! u (n−k) v (k) +⋯+uv (n) 3也称为莱布尼兹(Leibniz)公式

例6.y=x 2 e 2x ,求y (20) .

解：设u=e 2x ,v=x 2 ,则u (k) =2 k e 2x (k=1,2,⋯,20)v (1) =2xv (2) =2v (k) =0(k=3,4,⋯,20)(uv) (20) =u (20) v+20u (19) v ′ +20(19)2! u (18) v ′′ =2 20 e 2x x 2 +20⋅2 19 e 2x ⋅2x+190⋅2 18 e 2x ⋅2=2 20 e 2x (x 2 +20x+95)

内容小结：

高阶导数的求法

(1)逐阶求导法

(2)利用归纳法

(3)间接法–利用已知的高阶导数公式

如,(1a+x ) (n) =(−1) n n!(a+x) n+1

(1a−x ) (n) =n!(a−x) n+1

(4)利用莱布尼兹公式

思考与练习

1.如何求下列函的n阶导数?

(1)y=1−x1+x

(2)y=x 3 1−x

(3)y=1x 2 −3x+2

解：(1)y=−1+211+x y (n) =(−1) (n) +2(11+x ) (n) =0+2⋅(−1) n ⋅n!(1+x) n+1 =(−1) n ⋅2n!(1+x) n+1 (2)y=x 3 1−x =−x 2 −x−1+11−x y (1) =−2x−1+1(1−x) 2 y (2) =−2+2(1−x) 3 y (n) =n!(1−x) n+1 ,n≥3

(3)y=1x 2 −3x+2 =1x−2 −1x−1 y (n) =(−1) n n![1(x−2) n+1 −1(x−1) n+1 ]

(4)y=sin 6 x+cos 6 x

解：y=(sin 2 x) 3 +(cos 2 x) 3 =(sin 2 x+cos 2 x)(sin 4 x−sin 2 xcos 2 x+cos 4 x)=(sin 2 x+cos 2 x) 2 −3sin 2 xcos 2 x=1−34 sin 2 2x=58 +38 cos4xy (n) =38 ⋅4 n cos(4x+nπ2 )