高数 01.[08-10]习题课

函数的连续与间断点

1.f(x)在点x 0 连续的等价形式lim x→x 0 f(x)=f(x 0 )⟺lim Δx→0 [f(x 0 +Δx)−f(x 0 )]=0⟺f(x − 0 )=f(x 0 )=f(x + 0 )左连续 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 右连续 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

2.f(x)在点x 0 剪断的类型第一类间断点{可去间断点跳跃间断点 }左右极限存在第二类间断点{无穷间断点振荡间断点 }左右极限至少有一个不存在

基本初等函数在定义域内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续 ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 初等函数在定义区间内连续

说明：分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右极限连续性

连续函数的性质

设f(x)∈C[a,b],则1.f(x)在[a,b]上有界;2.f(x)在[a,b]上达到最大值与最小值;3.f(x)在[a,b]上可取最大值和最小值之间的任何值;4.当f(a)f(b)<0时,必存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=0.

例题分析

一、选择题

例1.设f(x)=⎧ ⎩ ⎨ sin3xx ,x≠0a,x=0 在=0处连续，则a=( D )

A.−1;B.1;C.2;D.3

解：lim x→0 sin3xx =lim x→0 3xx =3∵f(0 − )=f(0)=f(0 + )∴a=3

例2.设f(x)=1−cos 2 xx 2 ,当x≠0时F(x)=f(x),若F(x)在点x=0处连续，则F(0)等于( C )

A.−1;B.0;C.1;D.2

解：F(0)=lim x→0 F(x)=lim x→0 f(x)=lim x→0 sin 2 xx 2 =lim x→0 (xx ) 2 =1

例3.函数f(x)=x−4x 2 −3x−4 的间断点的个数是( C )

A.0;B.1;C.2;D.3

f(x)的间断点是连续性的三个条件之一，满足的点，本例中f(x)为有理函数，只需考察分母为零的点.由于x 2 −3x−4=(x+1)(x−4).可知x 1 =−1,x 2 =4为f(x)的间断点，故选C

例4.函数f(x)在x=a连续，是在x=a处有极限的( B )

A.既充分又必要条件;B.充分非必要条件; C.必要非充分条件;D.无关条件

由连续定义可知选B

例5.要使函数f(x)=1+x − − − − − √ −1−x − − − − − √ x 在x=0处连续，应给f(0)补充定义的数值是( C )

A.1/2;B.2;C.1;D.0

lim x→0 f(x)=lim x→0 1+x − − − − − √ −1−x − − − − − √ x =lim x→0 (1+x)−(1−x)x(1+x − − − − − √ +1−x − − − − − √ ) =lim x→0 21+x − − − − − √ +1−x − − − − − √ =1

二 填空题

例6.函数f(x)=x3−x − − − − − √ 3 的间断点是 3 − − −

3−x − − − − − √ 3 =0⟹x=3

例7.设f(x)=⎧ ⎩ ⎨ sinxx ,x≠00,x=0 则x=0为f(x)的第 一 − − − − 类间断点.

lim x→0 − f(x)=lim x→0 + f(x)=lim x→0 sinxx =lim x→0 xx =1f(0)=0≠1

例8.设函数f(x)={1−e −x ,x<0A+x,xgeq0 在x=0处连续，则常数A= 0 − − − .

∵f(0 − )=f(0 + )=f(0)∴lim x→0 − (1−e −x )=0=f(0)=A+0A=0

三、解答题

例9.设函数f(x)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 4 +ax+b(x−1)(x+2) ,x≠1,x≠−22,x=1 在点x=1处连续，试确定常数a,b的值.

∵当x=1时，(x−1)→0,且f(x)在1处连续，故1 4 +a⋅1+b=0即b=−a−12=lim x→1 x 4 +ax+b(x−1)(x+2) =lim x→1 x 4 +ax−a−1(x−1)(x+2) =lim x→1 a(x−1)+(x 2 +1)(x+1)(x−1)(x−1)(x+2) =lim x→1 a+(x 2 +1)(x+1)(x+2) =lim x→1 a+(1 2 +1)(1+1)(1+2) =lim x→1 a+43 ∴a=2b=−3

例10.确定A的值，使函数f(x)=⎧ ⎩ ⎨ 5e x −cosx,x≤0sin3xtanAx ,x>0 在点x=0处连续.

要使f(x)在x=0处连续，必须满足条件：lim x→0 − f(x)=lim x→0 + f(x)=f(0).lim x→0 − (5e x −cosx)=5−1=4=f(0)lim x→0 + sin3xtanAx =3xAx =3A =f(0)=4A=34

例11.设函数f(x)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ cosxx+2 ,x≥0a √ −a−x − − − − − √ x ,x<0 试问：(1)点a为何值时，x=0是f(x)的连续点.(2)点a为何值时，x=0是f(x)的间断点.

要使f(x)在x=0处连续，必须满足条件：lim x→0 − f(x)=lim x→0 + f(x)=f(0).lim x→0 + cosxx+2 =12 lim x→0 − a √ −a−x − − − − − √ x =lim x→0 − (a)−(a−x)x(a √ +a−x − − − − − √ ) =lim x→0 − 1a √ +a−x − − − − − √ =lim x→0 − 12a √ =12a √ a=1当a≠1时，x=0是f(x)的间断点.

练习1.3

一、选择题

1.设f(x)=⎧ ⎩ ⎨ ln(1+x)x ,x≠0k,x=0 在x=0处连续,则k等于( D ).

A.0;B.e;C.−1;D.1.

lim x→0 ln(1+x)x =lim x→0 xx =1=k

2.函数f(x)=sinx √ (x+1)(x 2 −1) 的间断点的个数为( B ).

A.0;B.1;C.2;D.3.

分母(x+1)(x+1)(x−1)≠0⇒x≠−1,x≠1分子sinx √ ⇒x≥0定义域内只有x≠1是间断点

3.设函数f(x)={2x,0≤x<13−x,1≤x≤2 则f(x)的连续区间为( D ).

A.[−1,1),(1,3];B.[1,3];C.[−1,3);D.[0,2].

lim x→1 + f(x)=lim x→1 + (3−x)=2lim x→1 − f(x)=lim x→1 − (2x)=2lim x→1 − f(x)=lim x→1 + f(x)=2=f(1)可知f(x)在[0,2]上连续

二、填空题

1.f(x)=cos1x 的间断点为 x=0 − − − − − −

2.f(x)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 1−x 2 1+x ,x≠−10,x=−1 则f(x)的间断点为 x=−1 − − − − − − − −

解：lim x→−1 1−x 2 1+x =lim x→−1 (1−x)=2≠f(−1)

3.设f(x)={ke 2x ,x<01+cosx,x≥0 在点x=0处连续，则常数k= 2 − − −

解：lim x→0 − ke 2x =k=lim x→0 + (1+cosx)=2

4.设f(x)={e x ,x≤0a+x,x>0 在点x=0处连续，则常数a= 1 − − −

解：lim x→0 − e x =f(0)=e 0 =1=lim x→0 + (a+x)=a+0=a