高数 01.09连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的运算法则

定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为0)运算，结果仍是一个在该点的连续函数.(利用极限的四则运算法则证明)例如，sinx,cosx连续⇒tanx,cotx在其定义域内连续

定理2.连续单调递增(递减)函数的反函数也连续单调递增(递减)(证明略)

例如，y=sinx在[−π2 ,+π2 ]上连续单调递增，其反函数y=arcsinx在[−1,1]上也连续单调递增。

又如，y=e 2 在(−∞,+∞)上连续单调递增，其反函数y=lnx在(0,+∞)上连续单调递增

定理3.连续函数的复合函数是连续的.

证：设函数u=ϕ(x)在点x 0 连续，且lim x→x 0 ϕ(x)=u 0 .函数y=f(x)在点u 0 连续，即lim u→u 0 f(u)=f(u 0 ).于是lim x→x 0 f[ϕ(x)]=lim u→u 0 f(u)=f(u 0 )=f[ϕ(x 0 )]=f[lim x→x 0 ϕ(x)].故复合函数f[ϕ(x)]在点x 0 连续.显然，在定理3的条件下，求复合函数f[ϕ(x)]的极限时，函数符号f与极限符号lim可以交换次序.

例如，y=sin1x 是又连续函数链y=sinu,u∈(−∞,+∞)u=1x ,x∈R + 复合而成，因此y=sin1x 在x∈R + 上连续.

例1.求lim x→3 x−3x 2 −9 − − − − − − √ .

解y=lim x→3 x−3x 2 −9 − − − − − − √ 可以看作由y=u √ 与u=x−3x 2 −9 复合而成，因为lim x→3 x−3x 2 −9 =16 ,而函数y=u √ 在点u=16 连续，所以lim x→3 x−3x 2 −9 − − − − − − √ =lim x→3 x−3x 2 −9 − − − − − − − − − − − √ =16 − − √ =6 √ 6

二、初定函数的连续性

基本初等函数在定义区间内连续连续函数四则运算仍连续连续函数的复合函数连续 ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ 一切初等函数在定义区间内连续

例如，y=1−x 2 − − − − − √ 的连续区间为[−1,1](端点为单侧连续)

y=lnsinx在连续区间(0,π)上，lim x→π2 ln(sinx)=ln(sinπ2 )=0

例2.求lim x→0 log a 1+xx

解：原式=lim x→0 log a (1+x) 1x =log a e=1lna

例3.求lim x→0 a 2 −1x

解：令t=a x −1,则x=log a 1+t

原式=lim t→0 tlog a (1+t) =lim t→0 1log a (1+t) 1t =1log a e =lna

说明：当a=e,x→0时,有ln(1+x)∼x,e x −1∼x

例4.求lim x→0 (1+2x) 3sinx

N=a b ⇒log a N=b⇒N=a log a N

解：原式=lim x→0 [e log e (1+2x) ] 3sinx =lim x→0 e 3sinx ln(1+2x) =lim x→0 e 3x ⋅2x =e 6

说明：若lim x→x 0 u(x)=0,lim x→x 0 v(x)=∞,则有lim x→x 0 [1+u(x)] v(x) =e lim x→x 0 v(x)ln[1+u(x)] =e lim x→x 0 v(x)u(x)

例5.设f(x)={x 2 ,x≤12−x,x>1 ,ϕ(x)={x,x≤1x+4,x>1 讨论复合函数f[ϕ(x)]的连续性.

解：

f[ϕ(x)]={ϕ 2 (x),ϕ(x)≤12−ϕ(x),ϕ(x)>1 ={x 2 ,x≤1−2(x+1),x>1

x≠1时,f[ϕ(x)]为初等函数，故此时连续；而

lim x→1 − f[ϕ(x)]=lim x→1 − x 2 =1

lim x→1 + f[ϕ(x)]=lim x→1 + [−2(x+1)]=−3

故f[ϕ(x)]在点x=1不连续，x=1为第一类间断点.

内容小结

基本初等函数在定义域内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续 ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 初等函数在定义区间内连续

说明：分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右极限连续性