NOIP 2017 Senior 1 - 小凯的烦恼

众而周知，这道题的答案是 ab−a−b。下面给出我的证明。

可以把支付金额看作 ax+by=c，a,b 分别为题目给定的硬币面额，则我们的任务是找到一个最大的 c，使得不存在 x,y∈N 满足支付金额的式子。

考虑贪心构造一组解使得 x,y 异号。首先贪心地让 x 为 -1。这时考虑 y 的最大值。在 c 不变的前提下，x + b 后 x 一定为正数，这时 y 要减去 a（考虑扩展欧几里得构造一般解的方法，这道题只能 x + b, y - a）。要无解，y - a 后一定为负数，所以 y 最大为 a - 1。

由于以上过程中 x 和 y 的构造只与 a 和 b 有关，而 x 和 y 我们都贪心地考虑了最大值，所以这就是 c 的最大值，即 a * b - a - b。