高数 01.08函数的连续性与间断点

第八节函数的连续性与间断点

一、函数连续性的定义

自然界有许多现象，如气温的变化，江河的水流，植物的生长等等，都是连续地变化着的.这种现象反映在函数上，就是函数的连续性.例如就气温变化来看，当时间变动很微小时，气温的变化也很微小，这种特性就是所谓的连续性.为了更好的刻画连续性，我们先引出增量的概念.设变量u从它的一个初值u 1 变到终值u 2 ，终值与初值的差u 1 −u 2 就叫做变量u的增量，记作Δu，即

Δu=u 2 −u 1 .

1、增量Δu可以是正的，也可以是负的.

2、记号Δu并不表示某个增量Δ与变量u的乘积，而是一个整体不可分割的记号.

定义1设函数y=f(x)在x 0 的某邻域内有定义，如果lim x→x 0 f(x)存在，且lim x→x 0 f(x)=f(x 0 ),则称函数f(x)在x 0 连续.

可见，函数f(x)在点x 0 连续必须具备下列条件:

(1)函数f(x)在点x 0 有定义，即f(x 0 )存在;

(2)极限lim x→x 0 f(x)存在;

(3)lim x→x 0 f(x)=f(x 0 ).

(4)连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线.

若f(x)在某区间上的每一点都来连续,则称它在该区间上连续，或称他为该区间上的连续函数

在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b].

例如，P(x)=a 0 +a 1 x+⋯+a n x n (有理整函数)

又如，有理分式函数R(x)=P(x)Q(x) 在其定义域内连续.

只要Q(x 0 )≠0,都有lim x→x 0 R(x)=R(x 0 )

对自变量的增量Δx=x−x 0 ,有函数的增量

Δy=f(x)−f(x 0 )=f(x 0 +Δx)−f(x 0 )

函数f(x)在点x 0 连续有下列等价命题：

lim x→x 0 f(x)=f(x 0 )⟺lim Δx→0 f(x 0 +Δx)=f(x 0 )⟺lim Δx→0 Δy=0⟺f(x − 0 )=f(x 0 )=f(x + 0 )左连续 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 右连续 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ⟺∀ε>0,∃δ>0,当|x−x 0 |=|Δx|<δ时，有|f(x)−f(x 0 )|=|Δy|<ε

例.证明函数y=sinx在(−∞,+∞)内连续.

证：∀x∈(−∞,+∞)Δy=sin(x+Δx)−sinx=2sin(x+Δx)−x2 cos(x+Δx)+x2 =2sinΔx2 cos(x+Δx2 )

|Δy|=2|sinΔx2 ||cos(x+Δx2 )|≤2|Δx2 |⋅1=|Δx|——⟶ Δx→0 0即lim Δx→0 Δy=0这说明y=sinx在(−∞,+∞)内连续.同样可证：函数y=cosx在(−∞,+∞)内连续.

二、函数的间断点

设f(x)在点x 0 的某去心邻域内有定义，则下列情形之一函数f(x)在点x 0 不连续：(1)函数f(x)在x 0 无定义；(2)函数f(x)在x 0 虽有定义，但lim x→x 0 f(x)不存在；(3)函数f(x)在x 0 虽有定义，且lim x→x 0 f(x)存在，但lim x→x 0 f(x)≠f(x 0 )这样的点x 0 成为间断点.

间断点分类：

第一类间断点：f(x − 0 )及f(x + 0 )均存在，若f(x − 0 )=f(x + 0 ),称x 0 为可去间断点.若f(x − 0 )≠f(x + 0 ),称x 0 为跳跃间断点.

第二类间断点：f(x − 0 )及f(x + 0 )至少有一个不存在，若其中有一个为∞,称x 0 为无穷间断点.若其中有一个为振荡,称x 0 为振荡间断点.

例如：

(1)y=tanx,当x=π2 为其无穷间断点(2)y=sin1x ,当x=0为其震荡间断点(3)y=x 2 −1x−1 ,当x=1为可去间断点

(4)y=f(x)={x,x≠112 ,x=1 显然lim x→1 f(x)=1≠f(1),当x=1为可去间断点

(5)y=f(x)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x−1,x<00,x=0x+1,x>0 f(0 − )=−1,f(0 + )=1,当x=0为其跳跃间断点

内容小结

1.f(x)在点x 0 连续的等价形式lim x→x 0 f(x)=f(x 0 )⟺lim Δx→0 [f(x 0 +Δx)−f(x 0 )]=0⟺f(x − 0 )=f(x 0 )=f(x + 0 )左连续 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 右连续 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

2.f(x)在点x 0 剪断的类型第一类间断点{可去间断点跳跃间断点 }左右极限存在第二类间断点{无穷间断点振荡间断点 }左右极限至少有一个不存在