高数 01.05极限运算法则

第五节极限运算法则

本节将讨论极限的求法，主要是建立极限运算的四运算法则和复合函数的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限，以后我们将逐步介绍求极限的其他方法。

在下面的讨论中，记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程，实际上，下面的定理对x→x 0 及x→∞都是成立的。在论证时，我们只证明了x→x 0 的情形，只要把δ改成X，把x<|x−x | <δ改成|x|>X,就可得x→∞情形的证明.

一、无穷小的运算法则

定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.

证：考虑两个无穷小的和，设lim x→x 0 α=0,lim x→x 0 β=0,∀ε>0,∃δ 1 >0,当0<|x−x 0 |<δ 1 时，有|α|<ε2 ∃δ 2 >0,当0<|x−x 0 |<δ 2 时，有|β|<ε2 取δ=minδ 1 ,δ 2 ,则当0<|x−x 0 |<δ时，有|α+β|≤|α|+|β|<ε2 +ε2 =ε因此lim x→x 0 (α+β)=0.这说明当x→x 0 时，α+β为无穷小。类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小。

说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小!

例如，

lim n→∞ n(1n 2 +π +1n 2 +2π +⋯+1n 2 +nπ )=1

定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

证：设∀x∈U ° (x 0 ,δ 1 ),|u|≤M又设lim x→x 0 α=0,即∀ε>0,∃δ 2 >0,当x∈U ° (x 0 ,δ 2 )时，有|α|εM 取δ=minδ 1 ,δ 2 ,则当x∈U ° (x 0 ,δ)时，就有|uα|=|u||α|≤M⋅εM =ε

故lim x→x 0 uα=0,即uα是x→x 0 时的无穷小.

推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.

例1.求lim x→∞ sin(x)x .

解：

∵|sin(x)|≤1

lim x→∞ 1x =0

利用定理2可知lim x→∞ sin(x)x =0

说明：y=0是y=sin(x)x 的渐近线

二、极限的四则运算法则

定理3.若limf(x)=A,limg(x)=B,则有

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B

证：

∵limf(x)=A,limg(x)=B,则有

f(x)=A+α,g(x)=B+β

(其中αβ为无穷小)

于是f(x)±g(x)=(A+α)±(B+β)

=(A±B)+(α±β)

由定理1可知α±β也是无穷小，再利用极限与无穷小的关系定理，知定理结论成立.

推论：若limf(x)=A,limg(x)=B,且f(x)≥g(x),则A≥B.

提示：令\varphi(x) = f(x) - g(x)

利用报号性定理证明.

说明：定理3可推广到有限个函数相加、减的情形。

定理4.若limf(x)=A,limg(x)=B,则有lim[f(x)g(x)]=lim(fx)limg(x)=AB

提示：利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明。

说明：定理4可推广到有限个函数相乘的情形。

推论1.lim[Cf(x)]=Climf(x)(C为常数)

推论2.lim[f(x)] n =[limf(x)] n (n为正整数)

例2.设n次多项式P n (x)=a 0 +a 1 x+⋯+a n x n ,试证lim x→x 0 P n (x)=P n (x 0 ).

证：

lim x→x 0 P n (x) =a 0 +a 1 lim x→x 0 x+⋯+a n lim x→x 0 x n =P n (x 0 )

定理5.若limf(x)=A,limg(x)=B,且B≠0,则有limf(x)g(x) =limf(x)limg(x) =AB

证：因limf(x)=A,limg(x)=B,有f(x)=A+α,g(x)=B+β,其中α、β为无穷小设γ=f(x)g(x) −AB =A+αB+β −AB =1B(B+β) (Bα−Aβ)【B(B+β)】有界，【(Bα−Aβ)】是无穷小因此γ为无穷小，f(x)g(x) =AB +γ由极限与无穷小关系定理，得limf(x)g(x) =AB

定理6.若lim n→∞ x n =A,lim n→∞ y n =B,则有(1)lim n→∞ (x n ±y n )=A±B(2)lim n→∞ x n y n =AB(3)当y n ≠0且B≠0时，lim n→∞ x n y n =AB

提示：因为数列是一种特殊的函数，故此定理可由定理3，4，5直接得出结论。

例3.设有分式函数R(x)=P(x)Q(x) ,其中P(x),Q(x)都是多项式，若Q(x 0 )≠0,试证：lim x→x 0 R(x)=R(x 0 ).

证：

lim x→x 0 R(x)=lim x→x 0 P(x)lim x→x 0 Q(x) =P(x)Q(x) =R(x 0 )

说明：若Q(x 0 )=0,不能直接用商的运算法则.

例4.lim x→3 x 2 −4x+3x 2 −9

注意：x=3时，分母为0！

lim x→3 x 2 −4x+3x 2 −9 =lim x→3 (x−3)(x−1)(x−3)(x+3) =lim x→3 x−1x+3 =x−1x+3 =26 =13

例5.求lim x→1 2x−3x 2 −5x+4 .

解：x=1时，分母=0,分子≠0,但因lim x→1 x 2 −5x+42x−3 =x 2 −5x+42x−3 =1 2 −5⋅1+42⋅1−3 =0−1

∴lim x→1 2x−3x 2 −5x+4 =∞

疑问：

令：f(x)=2x−3x 2 −5x+4 =2x−3(x−1)(x−4)

A:当x→1 − 时，令无穷小ε>0,x=1−ε

则f(x)=2(1−ε)−3(1−ε−1)(1−ε−3) =−2ε+1ε(ε+2) <0

B:又当x→1 + 时，令无穷小ε>0,x=1+ε

则f(x)=2(1+ε)−3(1+ε−1)(1+ε−3) =2(ε−2)+3ε(ε−2)

假设f(x)=2(ε−2)+3ε(ε−2) >0

2ε −3ε(2−ε) >0

2ε >3ε(2−ε)

2ε(2−ε)>3ε

ε−2ε 2 >0

1−2ε>0

ε<12

∵ε为>0的无穷小，∴ε<12 成立

∴lim x→1 + f(x)>0

由A、B可知：

lim x→1 − 2x−3x 2 −5x+4 <0

lim x→1 + 2x−3x 2 −5x+4 >0

结合lim x→1 x 2 −5x+42x−3 =0∴lim x→1 − 2x−3x 2 −5x+4 =−∞lim x→1 + 2x−3x 2 −5x+4 =+∞

例6.求lim x→∞ 4x 2 −3x+95x 2 +2x−1 .

解：

x→∞,分母→∞,分子→∞

分子、分母同除以x 2 ,则

原式=lim x→∞ 4−31x +91x 2 5+21x −1x 2 =45

例7.求lim x→∞ 3x 2 −2x−12x 3 −x 2 +5

解：先用x 3 除分子、分母，然后求极限，得

lim x→∞ 3x 2 −2x−12x 3 −x 2 +5 =lim x→∞ 3x −2x 2 −1x 3 2−1x +5x 3 =02 =0

例8.求lim x→∞ 2x 3 −x 2 +53x 2 −2x−1 .

解：先用x 2 除分子、分母，然后求极限，得

lim x→∞ 2x 3 −x 2 +53x 2 −2x−1 =lim x→∞ 2−1x +5x 3 3x −2x 2 −1x 3 =lim x→∞ 23∞ =∞

一般有如下结果：

lim x→∞ a 0 x m +a 1 x m−1 +⋯+a m b 0 x n +b 1 x n−1 +⋯+b n (a 0 b 0 ≠0,m,n为非负常数)

=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a 0 b 0 ,当n=m(例6)0,当n>m(例7)∞, 当n<m(例8)

三、复合函数的极限运算法则

定理7.设lim x→x 0 ϕ(x)=a,且x满足0<|x−x 0 |<δ 1 时，ϕ(x)≠a,又lim u→a f(u)=A,则有lim x→x 0 f[ϕ(x)]=lim u→a f(u)=A①

证：

lim u→a f(u)=A⟹∀ε>0,∃η>0,当0<|u−a|<η时，有|f(u)−A|<ε

lim x→x 0 ϕ(x)=a⟹对上述η>0,∃δ 2 >0,当0<|x−x 0 |<δ 2 时，有|ϕ(x)−a|<η

取δ=min(δ 1 ,δ 2 ),则当0<|x−x 0 |<δ时，有

0<|ϕ(x)−a|=|u−a|<η

故|f[ϕ(x)]−A|=|f(u)−A|<ε,因此①式成立.

说明：若定理中lim x→x 0 ϕ(x)=∞,则类似可得

lim x→x 0 f[ϕ(x)]=lim u→∞ f(u)=A

例9.求lim x→3 x−3x 2 −9 − − − − − − √ .

解：

lim x→3 x−3x 2 −9 − − − − − − √ =lim x→3 1x+3 − − − − − √ =16 − − √

例10.求lim x→1 x−1x √ −1 .

解：

lim x→1 x−1x √ −1 =lim x→1 (x √ +1)(x √ −1)x √ −1 =lim x→1 x √ +1=2

内容小结

1.极限的运算法则Th1,Th2,Th3,Th4,Th5,Th7

(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则 ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ 注意使用条件

2.求函数极限的方法

(1)分式函数极限求法

1)x→x 0 时，用代入法(分母不为0)2)x→x 0 时，对00 型，约去公因子3)x→∞时，分子分母同时除以最高次幂

(2)复合函数极限求法——设中间变量

思考与练习

1.若limf(x)存在，limg(x)不存在，问lim[f(x)+g(x)]是否存在？为什么？

答：不存在，因为：

若lim[f(x)+g(x)]存在，则：lim[f(x)+g(x)]−limf(x)存在极限

推知limg(x)=lim[f(x)+g(x)−f(x)]存在极限，这与条件不符，故lim[f(x)+g(x)]不存在极限

2.lim n→∞ ⌈1n 2 +2n 2 +3n 2 +⋯+nn 2 ⌉=?

解：

原式=lim n→∞ ⌈n(n+1)2n 2 ⌉=⌈lim n→∞ (12 +12n )⌉=⌈lim n→∞ (12 )⌉=⌈12 ⌉=1

3.求lim x→∞ x(x 2 +1 − − − − − √ −x).

解：

原式=lim x→∞ x(x 2 +1 − − − − − √ −x)(x 2 +1 − − − − − √ +x)(x 2 +1 − − − − − √ +x) =lim x→∞ xx 2 +1 − − − − − √ +x =lim x→∞ 11+1x 2 − − − − − − √ +1 =12

4.试确定常熟a使lim x→∞ (1−x 3 − − − − − √ 3 −ax)=0.

解：

lim x→∞ (1−x 3 − − − − − √ 3 −ax)=0lim x→∞ 1−x 3 − − − − − √ 3 ax −lim x→∞ 1=0lim x→∞ 1−x 3 − − − − − √ 3 ax =1a=lim x→∞ 1−x 3 − − − − − √ 3 x a=lim x→∞ 1−x 3 − − − − − √ 3 x 3 − − √ 3 a=lim x→∞ 1x 3 −1 − − − − − − √ 3 a=−1