NOIP2017小凯的疑惑(提高D1T1)
2017-11-29 09:55
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小学奥数题&&结论题
ans=a∗b−a−b
给大家一个不太严谨的证明:
引用来自http://www.cnblogs.com/jefflyy/p/7819858.html
用到一个引理:不定方程ax+by=c(a,b,c>0)一定有一组解(x1,y1)满足−a<y1≤0且x1>0
然后假设有一组特解(x0,y0),那么通解为(x0+bt,y0−at)(t∈Z)
所以有一组特解(x1,y1)满足−a<y1≤0
因为y1≤0,所以x1>0
引理得证
分两步:
那么ab=a(x+1)+b(y+1)
令m=x+1,n=y+1(m≥1,n≥1),则ab=am+bn
所以a|bn
又因为gcd(a,b)=1,所以a|n,不妨设n=an′
上面的式子变为ab=am+abn′,推出am=(1−n′)ab≤0,矛盾!
原命题得证
ab−a−b+t=ab−a−b+au0+bv0=(u0−1)a+(v0+a−1)b
因为u0−1≥0,v0+a−1≥0,所以原命题得证
所以,ab−a−b是最大的不能被表示为ax+by的整数
小学奥数题&&结论题
ans=a∗b−a−b
给大家一个不太严谨的证明:
引用来自http://www.cnblogs.com/jefflyy/p/7819858.html
用到一个引理:不定方程ax+by=c(a,b,c>0)一定有一组解(x1,y1)满足−a<y1≤0且x1>0
先证引理
首先,显然x,y中至少有一个非负(都是负数就不可能等于c)然后假设有一组特解(x0,y0),那么通解为(x0+bt,y0−at)(t∈Z)
所以有一组特解(x1,y1)满足−a<y1≤0
因为y1≤0,所以x1>0
引理得证
再证原命题
a=1 或 b=1时命题成立,下面考虑a>1,b>1分两步:
1.证ab−a−b≠ax+by
假设ab−a−b=ax+by(x≥0,y≥0)那么ab=a(x+1)+b(y+1)
令m=x+1,n=y+1(m≥1,n≥1),则ab=am+bn
所以a|bn
又因为gcd(a,b)=1,所以a|n,不妨设n=an′
上面的式子变为ab=am+abn′,推出am=(1−n′)ab≤0,矛盾!
原命题得证
2.证ab−a−b+t(t≥1)可以被分解为ax+by的形式
构造不定方程au+bv=t,由引理得它有一组特解满足−a<v0≤0且u0>0ab−a−b+t=ab−a−b+au0+bv0=(u0−1)a+(v0+a−1)b
因为u0−1≥0,v0+a−1≥0,所以原命题得证
所以,ab−a−b是最大的不能被表示为ax+by的整数
code
#include<iostream> using namespace std; unsigned long long a,b; int main() { cin>>a>>b; cout<<a*b-a-b; return 0; }
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