（划分树）poj2104 K-th Number

题面在这里

题目大意：

给一个长为n的序列，m次询问，每次询问[l, r]内第k大的数是几。 n <= 100000, m <= 5000

用了划分树，简单介绍一下。

划分树，顾名思义是将n个数的序列不断划分，根结点就是原序列，左孩子保存父结点所有元素排序后的一半，右孩子也存一半，也就是说排名1 -> mid的存在左边，排名(mid+1) -> r的存在右边，同一结点上每个元素保持原序列中相对的顺序。见下图：



红点标记的就是进入左孩子的元素。

以上内容来自这里

那么划分树大概就是一个log层的数组，每层都有n个数。我们用v[i][j]表示第i层第j个数的值，num[i][j]表示第i层第j个数之前去往左子树的数的个数。

举个例子就是上面这个数组，对于[1, 8]这个节点，i从1枚举到n。

a[1] = 1，去往左子树，则num[1] = 1; a[2] = 5，去往右子树，则num[2] = 1……其实就是像前缀和一样的。

注意这里num[i]考虑的是当前节点的前缀和，而不是整个序列的。

比如说第二层的[5, 8]这个区间，它的num[5] = 1, num[6] = 1, num[7] = 1, num[8] = 2.

这个就是建树的过程，保存一下v和num就好了。当然我们还需要一个已经排好序的数组需要找中间的数。

再说查询，比如查询[x, y]中第k大，我们首先计算出[x, y]中去往左子树的个数有多少，即goleft = num[y] - num[x-1].

当然如果x是左端点应该是goleft = num[y] - 0.因为假如是中间一段，这个num[x-1]会是别的值。

那么如果goleft >= k，就要在左边找，否则就要在右边找。

然后需要算出之后区间的左端点和右端点，这个看一下代码理解一下就可以了。

这么做，建树复杂度是nlogn，查询复杂度是mlogn。

下面放代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#define rep(i, x, y) for (int i = (x); i <= (y); i ++)
#define down(i, x, y) for (int i = (x); i >= (y); i --)
#define mid (l+r)/2
#define lc o<<1
#define rc o<<1|1
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define Pair pair<int, int>
#define F first
#define S second
#define B begin()
#define E end()
using namespace std;
typedef long long LL;
//head

const int N = 100010, LOG = 20;
int n, q;
int v[LOG]
, num[LOG]
, sorted
;

inline void build(int l, int r, int d) //区间[l, r]内，第d层
{
if (l == r) return;
int same = mid-l+1;
rep(i, l, r) if (v[d][i] < sorted[mid]) same --;
int ln = l, rn = mid+1;
rep(i, l, r){
if (i == l) num[d][i] = 0;
else num[d][i] = num[d][i-1];
if (v[d][i] < sorted[mid] || v[d][i] == sorted[mid] && same > 0){
v[d+1][
e3b2
ln ++] = v[d][i];
num[d][i] ++;
if (v[d][i] == sorted[mid]) same --;
} else {
v[d+1][rn ++] = v[d][i];
}
}
build(l, mid, d+1);
build(mid+1, r, d+1);
}

inline int query(int d, int l, int r, int x, int y, int w) //第d层区间[l, r]中找[x, y]中第w大的
{
if (l == r) return v[d][l];
int sl, sr; //sl表示x前面有多少元素进入左孩子,sr表示...进入右孩子
if (x == l) sl = 0; else sl = num[d][x-1];
int goleft = num[d][y] - sl, goright = y-x+1-goleft;
//goleft表示[x, y]中去往左孩子的个数，goright表示...右孩子的个数
sr = x-l-sl;
if (goleft >= w){
return query(d+1, l, mid, l+sl, l+num[d][y]-1, w);
} else {
return query(d+1, mid+1, r, mid+1+sr, mid+1+sr+goright-1, w-goleft);
}
}

int main()
{
scanf("%d%d", &n, &q);
rep(i, 1, n){
scanf("%d", &v[0][i]);
sorted[i] = v[0][i];
} sort(sorted+1, sorted+1+n);
build(1, n, 0);
while (q --){
int l, r, x; scanf("%d%d%d", &l, &r, &x);
printf("%d\n", query(0, 1, n, l, r, x));
}
return 0;
}