BZOJ2005: [Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题目传送门

昨天晚上AKCqhzdy问我这道题，当时我在上(hun)奥(ri)数(zi)

想了想，不对啊，这道题该怎么做？？

因为我的莫比乌斯反演其实不是很精通，导致我想了很久…

简化题意后就变成了这个样子：

首先对于某个点（x,y）,k=gcd(x,y)-1：

设gcd(x,y)=t，令x=at，y=bt，那么在这条直线上的整数点可以表示为(a,b)(2a,2b)(3a,3b)……(x,y)，由于不算x,y，则答案为gcd(x,y)-1

那么总损耗2k+1=2×gcd(x,y)-1。

然后冥思苦想，是啊，我只学过怎么求方案数，没学过怎么跑和啊..

啊呀，不对啊，和不就是方案数*gcd的结果吗？？

那么我们就求一遍每个gcd结果的值不就行了吗？？

然后玄学1A（第一次是为了保存代码，结果灵光一闪）

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxp 1000005
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100005;
const int inf=(1<<28)-1;

bool check[10000005];
int primes[10000005];
ll mu[10000005];
void get_mu()
{
memset(check,false,sizeof(check));
primes[0]=0;
mu[1]=1;
for(int i=2;i<maxp;++i)
{
if(check[i]==0)
{
primes[++primes[0]]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=primes[0];++j)
{
if((ll)primes[j]*i>=maxp) break;
check[i*primes[j]]=true;
if(i%primes[j]!=0)mu[i*primes[j]]=-mu[i];
else
{
mu[i*primes[j]]=0;
break;
}
}
mu[i]+=mu[i-1];
}
}
int main()
{
get_mu();
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);if(n>m)swap(n,m);
ll Ans=0;ll ans=0;
int last;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
ll N=(ll)n/j,M=(ll)m/j;Ans=0;
for(int i=1,last=0;i<=N;i=last+1)
{
last=min(M/(M/i),N/(N/i));

Ans+=(ll)(N/i)*(M/i)*(mu[last]-mu[i-1]);
}
if(j!=1)ans+=Ans*2*(j-1)+Ans;
else ans+=Ans;
}

printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

by_lmy