数据结构—哈夫曼树与哈夫曼编码
2017-11-26 19:00
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一,什么是哈夫曼树
哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树,也称为最优二叉树。下面用一幅图来说明。
它们的带权路径长度分别为:
图a: WPL=5*2+7*2+2*2+13*2=54
图b: WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48
可见,图b的带权路径长度较小,我们可以证明图b就是哈夫曼树(也称为最优二叉树)。
二,如何构建哈夫曼树
一般可以按下面步骤构建:
1,将所有左,右子树都为空的作为根节点。
2,在森林中选出两棵根节点的权值最小的树作为一棵新树的左,右子树,且置新树的附加根节点的权值为其左,右子树上根节点的权值之和。注意,左子树的权值应小于右子树的权值。
3,从森林中删除这两棵树,同时把新树加入到森林中。
4,重复2,3步骤,直到森林中只有一棵树为止,此树便是哈夫曼树。
下面是构建哈夫曼树的图解过程:
三,哈夫曼编码
利用哈夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为哈夫曼编码。树中从根到每个叶子节点都有一条路径,对路径上的各分支约定指向左子树的分支表示”0”码,指向右子树的分支表示“1”码,取每条路径上的“0”或“1”的序列作为各个叶子节点对应的字符编码,即是哈夫曼编码。
就拿上图例子来说:
A,B,C,D对应的哈夫曼编码分别为:111,10,110,0
用图说明如下:
记住,设计电文总长最短的二进制前缀编码,就是以n个字符出现的频率作为权构造一棵哈夫曼树,由哈夫曼树求得的编码就是哈夫曼编码。
哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树,也称为最优二叉树。下面用一幅图来说明。
它们的带权路径长度分别为:
图a: WPL=5*2+7*2+2*2+13*2=54
图b: WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48
可见,图b的带权路径长度较小,我们可以证明图b就是哈夫曼树(也称为最优二叉树)。
二,如何构建哈夫曼树
一般可以按下面步骤构建:
1,将所有左,右子树都为空的作为根节点。
2,在森林中选出两棵根节点的权值最小的树作为一棵新树的左,右子树,且置新树的附加根节点的权值为其左,右子树上根节点的权值之和。注意,左子树的权值应小于右子树的权值。
3,从森林中删除这两棵树,同时把新树加入到森林中。
4,重复2,3步骤,直到森林中只有一棵树为止,此树便是哈夫曼树。
下面是构建哈夫曼树的图解过程:
三,哈夫曼编码
利用哈夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为哈夫曼编码。树中从根到每个叶子节点都有一条路径,对路径上的各分支约定指向左子树的分支表示”0”码,指向右子树的分支表示“1”码,取每条路径上的“0”或“1”的序列作为各个叶子节点对应的字符编码,即是哈夫曼编码。
就拿上图例子来说:
A,B,C,D对应的哈夫曼编码分别为:111,10,110,0
用图说明如下:
记住,设计电文总长最短的二进制前缀编码,就是以n个字符出现的频率作为权构造一棵哈夫曼树,由哈夫曼树求得的编码就是哈夫曼编码。
#include<stdio.h> #i 4000 nclude<stdlib.h> typedef int ElemType; struct BTreeNode { ElemType data; struct BTreeNode* left; struct BTreeNode* right; }; //1、输出二叉树,可在前序遍历的基础上修改。采用广义表格式,元素类型为int void PrintBTree_int(struct BTreeNode* BT) { if (BT != NULL) { printf("%d", BT->data); //输出根结点的值 if (BT->left != NULL || BT->right != NULL) { printf("("); PrintBTree_int(BT->left); //输出左子树 if (BT->right != NULL) printf(","); PrintBTree_int(BT->right); //输出右子树 printf(")"); } } } //2、根据数组 a 中 n 个权值建立一棵哈夫曼树,返回树根指针 struct BTreeNode* CreateHuffman(ElemType a[], int n) { int i, j; struct BTreeNode **b, *q; b = malloc(n*sizeof(struct BTreeNode)); for (i = 0; i < n; i++) //初始化b指针数组,使每个指针元素指向a数组中对应的元素结点 { b[i] = malloc(sizeof(struct BTreeNode)); b[i]->data = a[i]; b[i]->left = b[i]->right = NULL; } for (i = 1; i < n; i++)//进行 n-1 次循环建立哈夫曼树 { //k1表示森林中具有最小权值的树根结点的下标,k2为次最小的下标 int k1 = -1, k2; for (j = 0; j < n; j++)//让k1初始指向森林中第一棵树,k2指向第二棵 { if (b[j] != NULL && k1 == -1) { k1 = j; continue; } if (b[j] != NULL) { k2 = j; break; } } for (j = k2; j < n; j++)//从当前森林中求出最小权值树和次最小 { if (b[j] != NULL) { if (b[j]->data < b[k1]->data) { k2 = k1; k1 = j; } else if (b[j]->data < b[k2]->data) k2 = j; } } //由最小权值树和次最小权值树建立一棵新树,q指向树根结点 q = malloc(sizeof(struct BTreeNode)); q->data = b[k1]->data + b[k2]->data; q->left = b[k1]; q->right = b[k2]; b[k1] = q;//将指向新树的指针赋给b指针数组中k1位置 b[k2] = NULL;//k2位置为空 } free(b); //删除动态建立的数组b return q; //返回整个哈夫曼树的树根指针 } //3、求哈夫曼树的带权路径长度 ElemType WeightPathLength(struct BTreeNode* FBT, int len)//len初始为0 { if (FBT == NULL) //空树返回0 return 0; else { if (FBT->left == NULL && FBT->right == NULL)//访问到叶子结点 return FBT->data * len; else //访问到非叶子结点,进行递归调用,返回左右子树的带权路径长度之和,len递增 return WeightPathLength(FBT->left,len+1)+WeightPathLength(FBT->right,len+1); } } //4、哈夫曼编码(可以根据哈夫曼树带权路径长度的算法基础上进行修改) void HuffManCoding(struct BTreeNode* FBT, int len)//len初始值为0 { static int a[10];//定义静态数组a,保存每个叶子的编码,数组长度至少是树深度减一 if (FBT != NULL)//访问到叶子结点时输出其保存在数组a中的0和1序列编码 { if (FBT->left == NULL && FBT->right == NULL) { int i; printf("结点权值为%d的编码:", FBT->data); for (i = 0; i < len; i++) printf("%d", a[i]); printf("\n"); } else//访问到非叶子结点时分别向左右子树递归调用,并把分支上的0、1编码保存到数组a { //的对应元素中,向下深入一层时len值增1 a[len] = 0; HuffManCoding(FBT->left, len + 1); a[len] = 1; HuffManCoding(FBT->right, len + 1); } } } //主函数 void main() { int n, i; ElemType* a; struct BTreeNode* fbt; printf("从键盘输入待构造的哈夫曼树中带权叶子结点数n:"); while(1) { scanf("%d", &n); if (n > 1) break; else printf("重输n值:"); } a = malloc(n*sizeof(ElemType)); printf("从键盘输入%d个整数作为权值:", n); for (i = 0; i < n; i++) scanf(" %d", &a[i]); fbt = CreateHuffman(a, n); printf("广义表形式的哈夫曼树:"); PrintBTree_int(fbt); printf("\n"); printf("哈夫曼树的带权路径长度:"); printf("%d\n", WeightPathLength(fbt, 0)); printf("树中每个叶子结点的哈夫曼编码:\n"); HuffManCoding(fbt, 0); }
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