最大01矩阵相关题目 【经典的悬线法】 bzoj1057

好的博客

首先01相间矩阵是全1或全0 的一种特殊求解方式，所以只要掌握到了全1（全0）最大矩阵的求解方式，那么这个相间矩阵也就求出来了。其实这也是白书上的一道经典的例题，就叫做悬线法。下面的是白书的解法（求解的是全1矩阵）。我们把每个点向上延伸的连续的1看成一条悬线，并且用up(i,j),left(i,j), right(i,j) 表示格子(i,j) 的悬线长度以及该悬线向左、向右运动的“运动极限”，这样每个格子(i,j)对应着一个以第i行为下边界,高度为up(i,j)，左右边界分别为left(i,j) 和 right(i,j) 的矩形，不难发现，所有的这些矩形中面积最大的就是题目所求(这里需要想一下哦~)，这样我们只需要维护好以上的三个值就可以啦。当第i行中，第j列不是1时，3个数组的值均为0，否则up(i,j) = up(i-1,j) +1, left(i,j) = max(left(i-1,j),lo+1), 其中lo是第i行中，第j列左边的最近的为0 的列编号，如果从左到右计算left(i,j) ，则很容易维护lo，right同理计算，但需要从右往左计算，因为要维护第j列右边最近的为0的列编号ro。那么代码如下:

(全1矩阵的，如果要改成全0矩阵，只需要把 != 哪里换成相应的相反的状态就行了.)

const int maxn=1e3+5;
int mapp[maxn][maxn];   // !!!
int up[maxn][maxn],l[maxn][maxn],r[maxn][maxn];
void solve()
{
int n,m; Fill(up,0); Fill(l,0); Fill(r,0);
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
cin >> mapp[i][j];
}
}
int res = 0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int lo=0;
for(int j=1;j<=m;j++){
if(mapp[i][j] == 0) {
up[i][j] = l[i][j] = 0;
lo = j;
}
else {
up[i][j] = up[i-1][j] + 1;
l[i][j] = max(l[i-1][j],lo+1);
}
}
int ro = m+1;
for(int j=m;j>=1;j--){
if(mapp[i][j] == 0) {
r[i][j] = m+1;  //right取0的真实含义是不能取它, 因为我们取的min
//所以就把它的值设为最大, 那么就不会取到它了.
ro = j;
}
else {
r[i][j] = i==1?ro-1:min(r[i-1][j],ro-1);
res = max(res,up[i][j] * (r[i][j]-l[i][j]+1));
//更新答案.
}
}
}
printf("%d\n",res);
}

貌似所有的01相间的问题都可以转化成全部相同的问题，或者改一改匹配条件？

那么01相间矩阵就是一个先对输入的矩阵进行如下转换:

如果这个格子是1，且奇偶性相同，就赋值为0，如果奇偶性不同，就赋值为1。

如果这个格子是0，且奇偶性相同，就赋值为1，如果奇偶性不同，就赋值为0。

然后就是求最大的全0或全1子矩阵。

我们考虑一下正确性，黑白相间，则相邻的两个一定是一个奇偶性相同，一个奇偶性不同，且一个为黑，一个为白，经过赋值，则符合要求。

就在上面的代码加一个参数即可! 以bzoj1057作为例子。只是这道题还要要求一个正方形. 子正方形的话，一定是一个子矩阵的一部分，枚举一下就好了.

AC Code

const int maxn = 2e3+5;
int mapp[maxn][maxn];   // !!!
int up[maxn][maxn],l[maxn][maxn],r[maxn][maxn];
int n,m,res1,res2;
void work(int x) {
for(int i=1;i<=n;i++){
int lo=0;
for(int j=1;j<=m;j++){
if(mapp[i][j] == 1-x) {
up[i][j] = l[i][j] = 0;
lo = j;
}
else {
up[i][j] = up[i-1][j] + 1;
l[i][j] = max(l[i-1][j],lo+1);
}
}
int ro = m+1;
for(int j=m;j>=1;j--){
if(mapp[i][j] == 1-x) {
r[i][j] = m+1;
ro = j;
}
else {
r[i][j] = i==1?ro-1:min(r[i-1][j],ro-1);
res1 = max(res1, up[i][j] * (r[i][j]-l[i][j]+1));
int tmp = min(up[i][j],(r[i][j]-l[i][j]+1));
res2 = max(res2, tmp*tmp);
}
}
}
}
void solve()
{
Fill(up,0); Fill(l,0); Fill(r,0);
scanf("%d%d",&n,&m); res1 = res2 = 0;
for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {
for (int j = 1 ; j <= m ; j++) {
int u ; scanf("%d",&u);
if(u == 1) {
if(i % 2 == j % 2) mapp[i][j] = 0;
else mapp[i][j] = 1;
}
else {
if(i % 2 == j % 2) mapp[i][j] = 1;
else mapp[i][j] = 0;
}
}
}
work(0);
work(1);
printf("%d\n%d",res2,res1);
}