显函数和隐函数

显函数：

等号左边是因变量，右边是带有自变量的式子，当自变量取定义域内取任一值时，由这式子能确定对应的函数值，这样的函数叫做显函数。

例如：y=sinx、y=lnx+1−x2−−−−−√

隐函数：

当变量x和y满足一个方程F(x,y)=0，在一定条件下，当x取区间内任一值时，相应的总有满足这个方程的唯一y值存在，那么在该区间内F(x,y)就是一个隐函数。

例如：x+y3−1=0

隐函数显化：

即把隐函数化为显函数，例如把x+y3−1=0隐函数显化得到y=31−x−−−−√。但是隐函数不总是能显化，有时候显化是非常困难的。

隐函数求导：

一 、隐函数的一阶导数dydx：

举例：

1、y2−2xy+9=0

解：

y2−2xy+9=0

∼2yy′−2y−2xy′=0

∼yy′−y−xy′=0

∼y′=yy−x

2、xy=ex+y

解：

xy=ex+y

∼xy′+y=ex+y(1+y′)

∼(x−ex+y)y′=ex+y−y

∼y′=ex+y−yx−ex+y

二 、 隐函数的二阶导数d2ydx2

1、x^2 - y^2 = 1

解：

x2−y2=1

∼2x−2yy′=0

∼y′=xy

所以y′′=(xy)′

y′′=(xy)′=y−xy′y2

将y′=xy带入y′′=y−xy′y2得：

y′′=y−x2yy2=y2−x2y3=1y3