B-Tree 、B+树、B*树

大规模数据存储中，实现索引查询这样一个实际背景下，树节点存储的元素数量是有限的（如果元素数量非常多的话，查找就退化成节点内部的线性查找了），这样导致二叉查找树结构由于树的深度过大而造成磁盘I/O读写过于频繁，进而导致查询效率低下。

1.      B-Tree

B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉平衡查找树。许多数据库系统都一般使用B树或者B树的各种变形结构，如下文即将要介绍的B+树，B*树来存储信息。
B树与红黑树最大的不同在于，B树的结点可以有许多子女，从几个到几千个。与红黑树的相同之处在于，一棵含n个结点的B树的高度也为O（lgn），但可能比一棵红黑树的高度小许多，应为它的分支因子比较大。所以，B树可以在O（logn）时间内，实现各种如插入（insert），删除（delete）等动态集合操作。
如下图所示，即是一棵B树，一棵关键字为英语中辅音字母的B树，现在要从树种查找字母R（包含n[x]个关键字的内结点x，x有n[x]+1个子女（也就是说，一个内结点x若含有n[x]个关键字，那么x将含有n[x]+1个子女）。所有的叶结点都处于相同的深度，带阴影的结点为查找字母R时要检查的结点）：



  B 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B树的特性如下：
I.      树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；
II.     除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；
III.   若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；
IV.   所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)；
V.    每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：

       a)   Ki (i=1...n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。

       b)   Pi为指向子树根的接点，且指针P(i-1)指向子树中所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。 

       c)   关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。
B-Tree 数据结构：


[cpp]
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template<class T> struct BTreeNode  
{  
    /*实际关键字的个数， keyNum<m*/  
    int keyNum;  
    /*指向父节点的指针*/  
    BTreeNode *parent;  
    /*指向孩子节点的指针数组：pChild[0],...,pChild[keyNum -1]*/  
    BTreeNode **pChilds;  
    T *key;  
};  




B-Tree的度：

           B-Tree中每个节点能包含的关键字的数量有一个上界和下界。下界称为B-Tree的最小度数。

 

B-Tree的高度：

a)       从B-Tree的最小度来计算

 

B树上大部分操作所需的磁盘存取次数与B树的高度成正比。下面分析B树的最坏高度情况。如果n>=1, 则对任意一棵包含n个关键字、高度为h（从0开始）、最小度数t>=2的B树有： h = logt((n+1)/2);

证明：

         如果一棵B-Tree的高度为h，其根节点至少包括一个关键字，而其他节点至少t-1个关键字。深度为1的节点至少有两个，深度为2的节点至少有2t个，深度为3的节点至少为2t2，…..，深度为h 的节点至少为2th-1，因此，

        

         所以：h = logt((n+1)/2);

 

b)      从B-Tree的阶数计算

 

若B树某一非叶子节点包含N个关键字，则此非叶子节点含有N+1个孩子结点，而所有的叶子结点都在第I层，我们可以得出：
1.    因为根至少有两个孩子，因此第2层至少有两个结点。
2.    除根和叶子外，其它结点至少有┌m/2┐个孩子，
3.    因此在第3层至少有2*┌m/2┐个结点，
4.    在第4层至少有2*(┌m/2┐^2)个结点，
5.    在第 I层至少有2*(┌m/2┐^(l-2) )个结点，于是有： N+1
≥ 2*┌m/2┐I-2；
6.    考虑第L层的结点个数为N+1，那么2*(┌m/2┐^(l-2)）≤N+1，也就是L层的最少结点数刚好达到N+1个，即：
I≤ log┌m/2┐((N+1)/2 )+2；
　　所以
·        当B树包含N个关键字时，B树的最大高度为l-1（因为计算B树高度时，叶结点所在层不计算在内），即：l
- 1 = log┌m/2┐((N+1)/2 )+1。
 

 

 

2.      B+树

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

       其定义基本与B-树同，除了：

      1.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；

        2.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i],K[i+1])的子树（B-树是开区间）；

      3.为所有叶子结点增加一个链指针；

4所有关键字都在叶子结点出现

          B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在

非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

       B+的特性：

       1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好

是有序的；

       2.不可能在非叶子结点命中；

       3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储

（关键字）数据的数据层；

       4.更适合文件索引系统；



B+树
 

B*树

      是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3

（代替B+树的1/2）；

      B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据

复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父

结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

      B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分

数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字

（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之

间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

      所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；



B*树