最小路径覆盖问题

一个DAG里，我们可以把每个点拆成出点和入点。这样就变成了一个二分图。//不存在奇数环的图都可以转换为二分图。

然后说几个定理：二分图中最小点覆盖=最大匹配。这个想一下就知道了，在最大匹配中每组匹配选一个点就最小点覆盖了。

DAG最小路径覆盖=顶点数-最小点覆盖（最大匹配）。

然后我们就可以把这道题转化成二分图跑网络流。因为一个点在这题中只能出一次入一次。所以S和T连得出点和入点都是容量为1的边。如果原图有边，那么从那个点的出点向到达的点的入点连边。

输出方案数qaq 我用了并查集qwq。。。嗯就这样吧qwq。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=1e5+5;
const int INF=1<<30-1;

struct edge{
int to,next,w;
}e[MAXN<<1];

int head[MAXN],cur[MAXN],cnt=1,n,m,s,t;
inline void add(int u,int v,int w){e[++cnt]=(edge){v,head[u],w},head[u]=cnt;}

int dep[MAXN];
queue<int>q;

bool bfs(int x){
memset(dep,0,sizeof(dep));
dep[x]=1;q.push(x);
while(q.size()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
int v=e[i].to,w=e[i].w;
if(w&&!dep[v]){
dep[v]=dep[u]+1;q.push(v);
}
}
}
if(!dep[t])return 0;
return 1;
}

int dfs(int u,int flow){
if(u==t||flow==0)return flow;
for(int &i=cur[u];i;i=e[i].next){
int v=e[i].to,w=e[i].w;
if(w>0&&dep[v]==dep[u]+1){
int tem=dfs(v,min(flow,w));
if(tem>0){
e[i].w-=tem;e[i^1].w+=tem;return tem;
}
}
}
return 0;
}
int fa[MAXN],rk[MAXN];
bool yused[MAXN];
void makeset(){for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;}

int find(int x){
return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}

void unset(int x,int y){
if((x=find(x))==(y=find(y)))return ;
if(rk[x]>rk[y])fa[y]=x;
else {
fa[x]=y;
if(rk[x]==rk[y])rk[y]++;
}
}

int dinic(){
int ans=0;
while(bfs(s)){
for(int i=0;i<=2*n+1;i++)cur[i]=head[i];
while(int d=dfs(s,INF))ans+=d;
}
return ans;
}
int main(){
memset(yused,0,sizeof(yused));
scanf("%d%d",&n,&m);
s=0;t=2*n+1;
for(int i=1;i<=n;i++){//出点
add(s,i,1);add(i,s,0);
}
for(int i=n+1;i<=n*2;i++){//入点
add(i,t,1);add(t,i,0);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int tem1,tem2;
scanf("%d%d",&tem1,&tem2);
add(tem2,tem1+n,1);
add(tem1+n,tem2,0);
}
int ans=dinic();
makeset();
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=head[i];j;j=e[j].next){
if(!e[j].w&&e[j].to)unset(i,e[j].to-n);
//  if(!e[j].w&&e[j].to)cout<<i<<":"<<e[j].to-n<<endl;
}
}
int tem;
for(int i=1;i<=n;i++){
tem=fa[i];
if(!yused[tem]){
yused[tem]=1;
printf("%d ",i);
for(int j=i+1;j<=n;j++){
if(fa[j]==tem)printf("%d ",j);
}
printf("\n");
}
}
printf("%d\n",n-ans);
return 0;
}