Backpropagation 算法的推导与直观图解

摘要
本文是对 Andrew Ng 在 Coursera 上的机器学习课程中 Backpropagation Algorithm 一小节的延伸。文章分三个部分：第一部分给出一个简单的神经网络模型和 Backpropagation（以下简称 BP）算法的具体流程。第二部分以分别计算第一层和第二层中的第一个参数（parameters，在神经网络中也称之为 weights）的梯度为例来解释 BP 算法流程，并给出了具体的推导过程。第三个部分采用了更加直观的图例来解释 BP 算法的工作流程。

注：1. 文中有大量公式，在 PC 或大屏移动设备下阅读排版更佳
　　2. 为了方便讨论，省去了 Bias unit，并在第二部分的讨论中省去了 cost function 的正则化项
　　3. 如果熟悉 Ng 课程中使用的字符标记，则推荐的阅读顺序为：第一、第三、第二部分

第一部分 BP 算法的具体过程

图 1.1 给出了一个简单的神经网络模型（省去了 Bias unit）：



图 1.1 一个简单的神经网络模型

其中字符标记含义与 Ng 课程中的一致：
x1,x2,x3x1,x2,x3 为输入值，也即 x(i)x(i) 的三个特征；
z(l)(j)z(j)(l) 为第 l 层的第 j 个单元的输入值。
a(l)(j)a(j)(l) 为第 l 层的第 j 个单元的输出值。其中 a
= g(z)，g 为 sigmoid 函数。
Θ(l)ijΘij(l) 第 l 层到 l+1 层的参数（权重）矩阵。

表 1.1 BP 算法的具体流程（Matlab 伪代码）

1 for i = m,
2 a(1)=x(i);a(1)=x(i);
3 使用前馈传播算法计算 a(2),a(3);a(2),a(3);
4 δ(3)=a(3)−y(i);δ(3)=a(3)−y(i);

5 δ(2)=(Θ(2))T∗δ(3).∗g′(z(2));δ(2)=(Θ(2))T∗δ(3).∗g′(z(2)); % 第
2 个运算符 ' .* ' 为点乘，即按元素操作
6 Δ(2)=Δ(2)+a(2)∗δ(3);Δ(2)=Δ(2)+a(2)∗δ(3);
7 Δ(1)=Δ(1)+a(1)∗δ(2);Δ(1)=Δ(1)+a(1)∗δ(2);
8 end;

第二部分 BP 算法步骤的详解与推导过程

BP 算法的目的在于为优化函数（比如梯度下降、其它的高级优化方法）提供梯度值，即使用 BP 算法计算代价函数（cost function）对每个参数的偏导值，其数学形式为：∂∂Θ(l)ijJ(Θ)∂∂Θij(l)J(Θ)，并最终得到的值存放在矩阵 Δ(l)Δ(l)中。
若神经网络有 K 个输出（K classes），那么其 J(Θ) 为：

J(Θ)=−1m∑i=1m∑k=1K[y(i)klog(hΘ(x(i))k)+(1−y(i)k)log(1−hΘ(x(i))k)]J(Θ)=−1m∑i=1m∑k=1K[yk(i)log(hΘ(x(i))k)+(1−yk(i))log(1−hΘ(x(i))k)]
接下来，以计算 Θ(1)11,Θ(2)11Θ11(1),Θ11(2) 为例来给出
BP 算法的详细步骤。对于单个训练用例，其代价函数为：

J(Θ)=−[y(i)klog(hΘ(x(i))k)+(1−y(i)k)log(1−hΘ(x(i))k)]（式1）J(Θ)=−[yk(i)log(hΘ(x(i))k)+(1−yk(i))log(1−hΘ(x(i))k)]（式1）
其中 hΘ(x)=a(l)=g(z(l))hΘ(x)=a(l)=g(z(l)),
g 为 sigmoid 函数。

计算 Θ(2)11Θ11(2):

∂J(Θ)∂Θ(2)11=∂J(Θ)∂a31∗∂a(3)1∂z(3)1∗∂z(3)1∂Θ(2)11（式2）∂J(Θ)∂Θ11(2)=∂J(Θ)∂a13∗∂a1(3)∂z1(3)∗∂z1(3)∂Θ11(2)（式2）
先取出式 2 中等号右边前两项，并将其记为 δ(3)1δ1(3)：

δ(3)1=∂J(Θ)∂a31∗∂a(3)1∂z(3)1（式3）δ1(3)=∂J(Θ)∂a13∗∂a1(3)∂z1(3)（式3）
这里给出 δ(l)δ(l) 的定义，即：

δ(l)=∂∂z(l)J(Θ)(i)（式4）δ(l)=∂∂z(l)J(Θ)(i)（式4）
对式 3 进行详细计算，即将 J(Θ)J(Θ) 对 z(3)1z1(3) 求偏导（计算过程中简记为
z）：

δ(3)1=∂J(Θ)∂a(3)1∗∂a(3)1∂z(3)1δ1(3)=∂J(Θ)∂a1(3)∗∂a1(3)∂z1(3)

=−[y∗1g(z)∗g′(z)+(1−y)∗11−g(z)∗(−g′(z))]=−[y∗1g(z)∗g′(z)+(1−y)∗11−g(z)∗(−g′(z))]

=−[y∗(1−g(z))+(y−1)∗g(z)]=−[y∗(1−g(z))+(y−1)∗g(z)]

=g(z)−y=a(3)−y=g(z)−y=a(3)−y
其中用到了 sigmoid 函数的一个很好的性质：

g′(z)=g(z)∗(1−g(z))（易证）g′(z)=g(z)∗(1−g(z))（易证）
这样便得到了表 1.1 中 BP 算法的第四行过程。
接下来观察式 2 中等号右边最后一项 ∂z(3)1∂Θ(2)11∂z1(3)∂Θ11(2)：
其中 z(3)1=Θ(2)11∗a(2)1+Θ(2)12∗a(2)2+Θ(2)13∗a(2)3z1(3)=Θ11(2)∗a1(2)+Θ12(2)∗a2(2)+Θ13(2)∗a3(2)，则易得：

∂z(3)1∂Θ(2)11=a(2)1（式5）∂z1(3)∂Θ11(2)=a1(2)（式5）
再回头观察最初的式 2，代入式 3 和式 5，即可得到：

∂J(Θ)∂Θ(2)11=δ(3)1∗a(2)1∂J(Θ)∂Θ11(2)=δ1(3)∗a1(2)
这样便推导出了表 1.1 中 BP 算法的第六行过程。
至此，就完成了对 Θ(2)11Θ11(2) 的计算。

计算 Θ(1)11Θ11(1)：

∂J(Θ)∂Θ(1)11=∂J(Θ)∂a31∗∂a(3)1∂z(3)1∗∂z(3)1∂a(2)1∗∂a(2)1∂z(2)1∗∂z(2)1∂Θ(1)11（式6）∂J(Θ)∂Θ11(1)=∂J(Θ)∂a13∗∂a1(3)∂z1(3)∗∂z1(3)∂a1(2)∗∂a1(2)∂z1(2)∗∂z1(2)∂Θ11(1)（式6）
类似地，根据式 4 中对 δ(l)δ(l) 的定义，可以把上式（即式
6）等号右边前四项记为 δ(2)1δ1(2) 。即：

δ(2)1=∂J(Θ)∂a31∗∂a(3)1∂z(3)1∗∂z(3)1∂a(2)1∗∂a(2)1∂z(2)1（式7）δ1(2)=∂J(Θ)∂a13∗∂a1(3)∂z1(3)∗∂z1(3)∂a1(2)∗∂a1(2)∂z1(2)（式7）
可以发现式 3 中的 δ(3)1δ1(3) 是这个等式右边的前两项。

于是 δ(l)δ(l) 的意义就体现出来了：它是用来保存上一次计算的部分结果。在计算
δ(l−1)δ(l−1) 时，可以使用这个部分结果继续向下逐层求偏导。这样在神经网络特别复杂、有大量计算时就可以节省大量重复的运算，从而有效地提高神经网络的学习速度。

继续观察式 7，其等号右边第三项易算得（已知 z(3)1=Θ(2)11∗a(2)1+Θ(2)12∗a(2)2+Θ(2)13∗a(2)3z1(3)=Θ11(2)∗a1(2)+Θ12(2)∗a2(2)+Θ13(2)∗a3(2)）：

∂z(3)1∂a(2)1=Θ(2)11（式8）∂z1(3)∂a1(2)=Θ11(2)（式8）
式 7 等号右边最后一项为：

∂a(2)1∂z(2)1=g′(z(2)1)（式9）∂a1(2)∂z1(2)=g′(z1(2))（式9）
将 δ(3)1δ1(3)、式
8、式 9 代入式 7，即可得到：

δ(2)1=δ(3)1∗Θ(2)11∗g′(z(2)1)（式10）δ1(2)=δ1(3)∗Θ11(2)∗g′(z1(2))（式10）
这样便推导出了表 1.1 中 BP 算法第五行过程。
接下来继续计算式 6 中等号右边最后一项，已知 z(2)1=Θ(1)11∗a(1)1+Θ(1)12∗a(1)2+Θ(1)13∗a(1)3z1(2)=Θ11(1)∗a1(1)+Θ12(1)∗a2(1)+Θ13(1)∗a3(1)，易得：

∂z(2)1∂Θ(1)11=a(1)1（式11）∂z1(2)∂Θ11(1)=a1(1)（式11）
将式 10、式 11 代入最开始的式 6 即可得：

∂J(Θ)∂Θ(1)11=δ(2)1∗a(1)1∂J(Θ)∂Θ11(1)=δ1(2)∗a1(1)
如此，即可得到表 1.1 中 BP 算法的第七行过程。
至此，就完成了对 Θ(1)11Θ11(1) 的计算。

第三部分 BP 算法的直观图解

神经网络学习算法图概览
给定一个函数 f(x)，它的首要求导对象是什么？就是它的输入值，是自变量 x。那 f(g(x)) 呢？即把g(x) 当作一个整体作为它的输入值，它的自变量。那么 g(x) 这个整体就是它的首要求导对象。因此，一个函数的求导对象是它的输入值，是它的自变量。弄清楚这一点，才能在求多元函数偏导的链式法则中游刃有余。
图 3.1 自下而上，每一个框是上面一个框的输入值，也即上面一个框中函数的自变量。这张图明确了神经网络中各数据之间的关系——谁是谁的输入值，图中表现得非常清楚。上段提到一个函数的求导对象是它的输入值，那么通过图 3.1 就能非常方便地使用链式法则，也能清楚地观察到 BP 算法的流程（后面一个小节会给出一个更具体的 BP 流程图）。
对照文首给出的图 1.1 神经网络的模型图，应该很容易理解图 3.1 的含义，它大致地展现了神经网络的学习（训练）流程。前馈传播算法自下而上地向上计算，最终可以得到 a(3)a(3)，进一步可以计算得到 J(Θ)J(Θ)。而
BP 算法自顶向下，层层求偏导，最终得到了每个参数的梯度值。下面一个小节将仔细介绍本文的主题，即 BP 算法的流程图解。



图 3.1 神经网络学习算法概览

BP 算法的直观图解
图 3.2 给出了 BP 算法的计算流程，并附上了具体的计算步骤。BP 算法的流程在这张图中清晰可见：自顶向下（对应神经网络模型为自输出层向输入层）层层求偏导。因为神经网络的复杂性，人们总是深陷于求多元函数偏导的泥潭中无法自拔：到底该对哪个变量求导？图 3.2 理顺了神经网络中各数据点之间的关系，谁是谁的输入值，谁是谁的函数一清二楚，然后就可以畅快地使用链式法则了。



图3.2 BP 算法流程

所以 BP 算法即反向传播算法，就是自顶向下求代价函数 J(Θ)J(Θ) 对各个参数 Θ(l)ijΘij(l) 偏导的过程，对应到神经网络模型中即自输出层向输入层层层求偏导。在图
3.2 中，当反向传播到 a(2)1a1(2) 结点时，遇到分叉路口：选择对 Θ(2)11Θ11(2) 求偏导，即可得到第二层的参数梯度。而若选择对 a(2)1a1(2) 这条路径继续向下求偏导，就可以继续向下（即输出层）传播，继续向下求偏导，最终可得到第一层的参数梯度，于是就实现了
BP 算法的目的。在选择分叉路口之前，使用 δ(l)δ(l) 来保存到达分岔路口时的部分结果（本文的第二部分对 δ(l)δ(l) 做出了精确定义）。那么如果选择继续向下求偏导，则还可以使用这个部分结果继续向下逐层求偏导。从而避免了大量的重复计算，有效地提升了神经网络算法的学习速度。

因此可以观察到 BP 算法两个突出特点：
1) 自输出层向输入层（即反向传播），逐层求偏导，在这个过程中逐渐得到各个层的参数梯度。
2) 在反向传播过程中，使用 δ(l)δ(l) 保存了部分结果，避免了大量的重复运算，因而该算法性能优异。