Logistic回归-代价函数求导过程 | 内含数学相关基础

本篇文章是针对已经学习过 Logistic Rregression 部分知识，只对其 Cost function 求导过程展开详述。

作者 | ZJ

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相关函数求导公式

先复习回顾下一些数学基础，帮助推导过程可以更好的理解。下面列举的公式都是，接下来的推导中会用到的，没有涉及到的公式，此处不再列举。

常数项求导



以 e 为底的指数求导公式



对数复合求导公式



幂函数复合求导公式



函数的和、差、积、商的求导法则

设

，都可导，则:

(1)


(2)


(3)


(4)


复合函数求导法则

设

而

且

及

都可导，则复合函数

的导数为

Logistic 回归的 Cost function 的推导过程：

之前采用的是梯度下降算法用来求函数的最小值。

好吧，来吧正式开始了，有了以上的数学求导基础，接下来就容易多了，公式嘛，当初上学时，老师常说的一句话：“背过，记住！”

Logistic回归的代价函数可以统一写成如下一个等式：

其中：





下面开始我们的推导过程：如果要求

对某一个参数

的偏导数，则：

1.根据求导公式，可以先把常数项

提取出来，这样就只需要对求和符号内部的表达式求导，即：

(1)

其中 K(θ)’ 为：（为方便显示，先把右上角表示第i个样本的上标去掉）



2.根据对数复合求导公式，


，

对 K(θ)’ 继续求导可得：

(2)

之后 需要对


现在 根据上面提到的

幂函数复合求导公式



以 e 为底的指数求导公式



先对

求导：

根据上面的已知公式：



依据上面的商求导公式可得：

将 (3) (4) 代入 (2) 中 ，可得：

推导结果：

结论：Logistic Regression 的目的是 求解一组最佳拟合参数 θ 。这个求解的过程是由最优化算法完成的。

参考文献：

[1] 玄天妙地 .第三周：逻辑回归代价函数求导过程 [OL]