动态规划之01背包问题

给定

n

种物品和一个背包，物品i的重量是

w[i]

，其价值是

v[i]

，所有物品的重量和价值都是非负的，背包的容量是

C

。我们限定每种物品只能选择0个或者1个。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

解题思路：

最终的目标是在总重量不超过

C

的前提下，使得总价值最高。在总重量不超过

Y（Y<=C）

的前提下，我们将前i种物品的总价值所能达到的最高价值定义为

value[i][Y]

，由此我们可以得到这个问题的最优解与子问题的最优解相同（最优子结构性质），可用动态规划求解。

由上面的叙述可知：

value[0][Y]=0

0<=Y<=C

value[i][0]=0

1<=i<=n

当

w[i]>Y

时，

value[i][Y]=value[i-1][Y]

(物品

i

不能放入背包，所以总价值还是前一个物品放入时的价值。)

当

w[i]<=Y

时，

value[i][Y]=max(value[i-1][Y],value[i-1][Y-w[i]]+v[i]

。(

value[i-1][Y]

表示不能放入，

value[i-1][Y-w[i]]+v[i]

表示放入进去。然后在这两种情况中选取最大值。先把表填了，这样才能更好理解！表格如下：



接下来我们看看代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int value[200][200];
int max(int a,int b);
int KnapStack(int n,int w[],int v[],int x[],int C);
//求最大价值以及是哪些物品被选中

int main(int argc, char** argv) {
int maxSum;//最大价值
int w[10];//重量数组
int v[10];//价值数组
int x[10];//选中的数组
int n;//物品数量
int C;//最大容量
cout<<"请输入物品数："<<endl;
cin>>n;
cout<<"请输入背包的最大容量："<<endl;
cin>>C;
cout<<"请分别输入物品的重量："<<endl;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>w[i];
}
cout<<"请分别输入物品的价值："<<endl;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>v[i];
}
maxSum=KnapStack(n,w,v,x,C);
cout<<"最大物品价值为："<<endl;
cout<<maxSum<<endl;
return 0;
}

int max(int a,int b){
if(a>=b){
return a;
}
else{
return b;
}
}

int KnapStack(int n,int w[],int v[],int x[],int C){
for(int i=0;i<=n;i++){
value[i][0]=0;//value[i][0]=0
}
for(int Y=0;Y<=C;Y++){
value[0][Y]=0;//value[0][Y]=0
}
for(int i=0;i<n;i++){//二层for循环用作创建表
for(int Y=0;Y<=C;Y++){
if(Y<w[i]){
value[i+1][Y]=value[i][Y];
}//value[i][],i的下标从0开始
//不能往背包里面放
else{
value[i+1][Y]=max(value[i][Y],value[i][Y-w[i]]+v[i]);
}
}
}
int Y=C;
for(int i=n-1;i>=0;i--){
if(value[i+1][Y]>value[i][Y]){
x[i]=1;
Y-=w[i];
}
else{
x[i]=0;
}
}
cout<<"选中的物品是："<<endl;
for(int i=0;i<n;i++){
cout<<x[i]<<"\t";
}
cout<<endl;
return value
[C];
}