POJ3624---01背包入门 dp+滚动数组+重复利用一维数组

题意：01背包入门题（入门必做）

思路：dp，用二维数组会MLE（超内存），由于每个状态只与前一状态有关，故可开滚动数组压缩空间,也可以重复利用一个一维数组。

dp[i][j]代表从前i个物品中选出总重量不超过j的物品时总价值的最大值。则

dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][w[i]-j]+v[i]} (w[i]<=j)

dp[i][j]=dp[i-1][j] (w[i]>j)

边界控制：

dp[i][j]=0 (i==0||j==0)由于定义全局数组，所以在代码中不必再赋值。

本题作为dp背包问题的入门题，值得新手去做，如果觉得不能理解递推关系，滚动数组，重复利用一维数组…~

可以先把二维数组里的值一步一步给画出来（我看的挑战程序设计那本书上有这种图），然后你就会明白所以然了。可以打印下：(斜线代表取，直线代表不取。然后再用这个图理解下滚动数组和一维数组。测试数据为poj上的。)


说下注意的问题：

第二个for循环，可以正序，也可以逆序，因为dp[i+1][…]里的东西都是从dp[i]中得出来的。

但是带来的问题就是内存超了。

滚动数组也是可以正序，可以逆序。

但是重复利用一维数组就必须要逆序了，因为得到后面的必须要用到前面的~~~这让你想起了什么？？？记得刚开始学程序设计的时候，老师让打印杨辉三角，说用一维数组打印试试~（实际上，杨辉三角也是动态规划问题咯）

说明2：

滚动数组：

当前状态都来源于上一个状态，所以这时候只需要两个数组就够了。拿经典的01背包问题来说，第二行只和第一行有关，第三行只和第二行有关……所以只需要两行就

可以了。当然，有的复杂的dp问题i和i-1，i-2有关，这时候要开三行数组，i%3

一维数组：

主要是顺序还是逆序的问题，如果当前状态来源于“上”和“左斜上”（01背包）那么要逆序了，自己一定要明白为什么要这样 ， 如果当前状态来源于“←”和“↖”（完全背包）那就要顺序了。

如果当前状态来源于“←”，“↑”和“↖”，这时候就不能用一维数组来优化了，必须要用滚动数组。

说明3：

并非所有的问题都要去优化空间，有的要输出路径，这时候就不能压缩空间了，需要保留所有的数据。比如这两道题：

1 2

三种代码：（依次为原始二维数组，滚动二维数组，一维数组）

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[3500][13000];//0
int w[3500], v[3500];
int main()
{
int N, M; cin >> N >> M;
for (int i = 1; i <= N; i++)
cin >> w[i] >> v[i];
for(int i=1;i<=N;i++)
for (int j = 0; j <= M; j++)
{
if (j < w[i])dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
}
cout << dp
[M];
system("pause");
}

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[2][13000];//0
int w[3500], v[3500];
int main()
{
int N, M; cin >> N >> M;
for (int i = 1; i <= N; i++)
cin >> w[i] >> v[i];
for(int i=1;i<=N;i++)
for (int j = 0; j <= M; j++)
{
if (j < w[i])dp[i%2][j] = dp[(i - 1)%2][j];
else dp[i % 2][j] = max(dp[(i - 1) % 2][j], dp[(i - 1) % 2][j - w[i]] + v[i]);
}
cout << dp[N%2][M];
system("pause");
}

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[13000];//0
int w[3500], v[3500];
int main()
{
int N, M; cin >> N >> M;
for (int i = 1; i <= N; i++)
cin >> w[i] >> v[i];
for(int i=1;i<=N;i++)
for (int j = M; j >= w[i]; j--)   //j >= w[i]这个结束条件是从 j>0和下面的if（j >= w[i]）语句得来的。
{
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
}
cout << dp[M];
system("pause");
}