奥数题-求空间4点构成的四面体体积

今天闲逛百度，看到这样一个奥数题

空间中有一点“K”。从K放射出四条线段 KA、 KB、 KC、 KD 。已知 KA=3米 KB=4米 KC=5米 KD=6米。问：四面体ABCD体积的最大值是多少？

觉得挺有趣，就拿着笔这纸上画了画，最后得出答案。

先说思考过程

可以把K看做空间坐标系的原点，分别以3,4,5,6为半径画球体，我们发现，4个球体是同心的，也就是在这4个球体表面上各取一个点，构成的四面体体积最大。

首先抛开D点不考虑，为什么抛开D点不考虑了，为了简化问题，简化求解过程。其实就是分步考虑，如果求出ABC三角形最大面积，那么再看D，构成的三角锥的体积最大值。

现在问题简化成了3个同心圆球了。

下面我们自然是要把C简化掉，怎么简化？在A，B两个同心圆上任意取的两点A，B，不管它们在这两个球体上的空间哪里，和原点K都能构成一个平面，而且也是同心圆，现在一下就简化成平面坐标系，原点K，同心圆A和B两个圆环上，取A，B两点，求他们最大值，这个时候就很容易了，ABK在同一条直线上，线段AB最大。

第三步，现在可以考虑C这个球体了。在这个原来的二维坐标系里面，引入C，很容易就把ABCK四点置换在一个平面内，这个时候，三角形的面积就是1/2*(A+B)*高，这个高是由C点决定，当KC垂直于AB时，有最大值，1/2*(A+B)*C。

第四步：D值得取值，其实已经很容易得到KD垂直于平面，所以就得到：体积最大：1/3*1/2*(A+B)*C*D.

这是我们一开始不考虑D，同样，我们可以先不考虑A、B、C，也就是吧3,4,5,6带入上述公式，求最大值。

当A=3、B=4时最大：35