机器学习(3)-逻辑回归
2017-11-11 21:49
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Sigmoid函数
g(z)=11+e−zx取值为任意实数,y取值为[0,1]
看成是把实数映射成一个概率值,可用作分类任务
数学推导
预测函数:hθ(x)=g(θTx)=11+e−θTxθTx表示原假设函数的参数矩阵*特征
二分类任务中y的取值为1或者0,所以有:
P(y=1|x;0)=hθ(x)
P(y=0|x;0)=1−hθ(x)
整合后:P(y|x;θ)=(hθ(x))y(1−hθ(x))1−y
如果看不明白可以把y=1和y=0分别代入,即可得到原式子
似然函数
类似线性回归做似然函数的处理
求导过程
参数更新:θj:=θj−α1m∑mi=1(hθ(xi)−yi)xji
”:=”表示赋值
θj表示第j个参数
xi表示第i个样本
hθ(xi)表示将第i个样本输入预测函数得到的结果
yi表示第i个样本的label值
xji表示第i个样本的第j个特征
softmax多分类
代码实践
读取数据和数据处理import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline import os # os.sep是目录连接符lunux下是/ ;window下是\\,读取是相对路径 data\\LogiReg_data.txt path = 'data'+os.sep+'LogiReg_data.txt' path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt' #header表示第一行是不是列名 pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted']) # 查看头部 pdData.head() # 查看矩阵的shape pdData.shape positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1] # returns the subset of rows such Admitted = 1, i.e. the set of *positive* examples negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0] # returns the subset of rows such Admitted = 0, i.e. the set of *negative* examples # 将数据再画布上查看,直观看下数据的分布 fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5)) ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted') ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted') ax.legend() ax.set_xlabel('Exam 1 Score') ax.set_ylabel('Exam 2 Score')
这里为数据加入列x0=1的特征
pdData.insert(0, 'Ones', 1) # 获取特征矩阵和标签矩阵 cols = orig_data.shape[1] X = orig_data[:,0:cols-1] y = orig_data[:,cols-1:cols] # 初始化参数矩阵 theta = np.zeros([1, 3])
逻辑回归的目标
建立分类器,求出三个参数θ0,θ1,θ2
因为只有两个特征,假设的函数是:y=θ0+θ1x1+θ2x2
为了计算,我们会引入x0=1,代码中的操作就是增加一列特征,值全部为1
所以有y=θ0x0+θ1x1+θ2x2=θTx
需要实现的模块
实现的目标函数:θj:=θj−α1m∑mi=1(hθ(xi)−yi)xji
sigmoid函数:hθ(x)=g(θTx)=11+e−θTx
model,矩阵乘法部分:θTx
cost,损失函数,对数似然函数的负值的平均值,用于评测算法,越小越好
gradient:计算梯度,即每个参数的梯度方向 ∂J∂θj=−1m∑i=1n(yi−hθ(xi))xij
descent:参数更新
计算精度
# sigmoid def sigmoid(z): return 1 / (1 + np.exp(-z)) # model def model(X, theta): return sigmoid(np.dot(X, theta.T))
损失函数
将对数似然函数去负号
D(hθ(x),y)=−ylog(hθ(x))−(1−y)log(1−hθ(x))
求平均损失
J(θ)=1n∑ni=1D(hθ(xi),yi)
def cost(X, y, theta): left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta))) right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta))) return np.sum(left - right) / (len(X))
计算梯度
∂J∂θj=−1m∑ni=1(yi−hθ(xi))xij
def gradient(X, y, theta): grad = np.zeros(theta.shape) error = (model(X, theta)- y).ravel() for j in range(len(theta.ravel())): #for each parmeter term = np.multiply(error, X[:,j]) grad[0, j] = np.sum(term) / len(X) return grad
比较3中不同梯度下降方法
STOP_ITER = 0 STOP_COST = 1 STOP_GRAD = 2 def stopCriterion(type, value, threshold): #设定三种不同的停止策略 if type == STOP_ITER: return value > threshold elif type == STOP_COST: return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold elif type == STOP_GRAD: return np.linalg.norm(value) < threshold import numpy.random
#洗牌,每次梯度下降取样本前要把数据集的顺序打乱 def shuffleData(data): # 随机排序函数shuffle np.random.shuffle(data) cols = data.shape[1] X = data[:, 0:cols-1] y = data[:, cols-1:] return X, y
import time # 参数迭代更新 def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha): # 梯度下降求解 init_time = time.time() i = 0 # 迭代次数 k = 0 # batch X, y = shuffleData(data) grad = np.zeros(theta.shape) # 计算的梯度 costs = [cost(X, y, theta)] # 损失值 while True: grad = gradient(X[k:k+batchSize],y[k:k+batchSize], theta) k += batchSize if k >= n: k = 0 X, y = shuffleData(data) #重新洗牌 theta = theta - alpha*grad costs.append(cost(X, y, theta)) # 保存损失值 i += 1 if stopType == STOP_ITER: value = i elif stopType == STOP_COST: value = costs elif stopType == STOP_GRAD: value = grad if stopCriterion(stopType, value, thresh): break return theta, i-1, costs, grad, time.time()-init_time
# 此处的代码是将迭代的过程以图表的形式展示 def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha): #import pdb; pdb.set_trace(); theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha) name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled" name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha) if batchSize==n: strDescType = "Gradient" elif batchSize==1: strDescType = "Stochastic" else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize) name += strDescType + " descent - Stop: " if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh) elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh) else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh) name += strStop print ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format( name, theta, iter, costs[-1], dur)) fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4)) ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r') ax.set_xlabel('Iterations') ax.set_ylabel('Cost') ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration') return theta
不同迭代策略
每次迭代都遍历所有样本#选择的梯度下降方法是基于所有样本的 n=100 runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)
!这里的迭代次数过少,修改阈值为1E-6,迭代次数为110000次
会发现瞬时值会再次降低
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha=0.001)
这种策略虽然准确度较高,但是迭代次数多,计算量大
随机梯度下降:每次只选取一个样本进行计算
runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)
这种策略计算速度快,但是不稳定,需要很小的学习率
小批量梯度下降
runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)
实践中常用的策略,这种算法需要对数据进行预处理,数据标准化
精度预测
#设定阈值,设定0.5,预测概率大于等于0.5的值为1,小于0.5的值为0,来进行分类 def predict(X, theta): return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)] scaled_X = scaled_data[:, :3] y = scaled_data[:, 3] predictions = predict(scaled_X, theta) correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)] accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct)) print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy))
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