NOIP2017Day1T1-小凯的疑惑
2017-11-11 19:58
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1.小凯的疑惑
(math.cpp/c/pas)
【问题描述】
小凯手中有两种面值的金币,两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下,仅凭这两种金币,有些物品他是无法准确支付的。现在小凯想知道在无法准确支付的物品中,最贵的价值是多少金币?注意:输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。
【输入格式】
输入文件名为math.in。
输入数据仅一行,包含两个正整数 a 和 b,它们之间用一个空格隔开,表示小凯手中金币的面值。
【输出格式】
输出文件名为math.out。
输出文件仅一行,一个正整数 N,表示不找零的情况下,小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。
【输入输出样例1】
math.in
3 7
math.out
11
见选手目录下的math/math1.in和math/math1.ans。
【输入输出样例1说明】
小凯手中有面值为3和7的金币无数个,在不找零的前提下无法准确支付价值为1、2、4、5、8、11 的物品,其中最贵的物品价值为 11,比 11 贵的物品都能买到,比如:
12 = 3 * 4 + 7 * 0
4000
13 = 3 * 2 + 7 * 1
14 = 3 * 0 + 7 * 2
15 = 3 * 5 + 7 * 0
……
【输入输出样例2】
见选手目录下的math/math2.in和math/math2.ans。
【数据规模与约定】
对于 30%的数据: 1 ≤ a,b ≤ 50。
对于 60%的数据: 1 ≤ a,b ≤ 10,000。
对于 100%的数据:1 ≤ a,b ≤ 1,000,000,000。
题解:第一眼看到——什么鬼?今年Day1T1贼难!想了10分钟,无解,于是先做第二题。做好第二题再看一遍,模拟了一下样例,又搞了几个小样例,又看了10分钟,突然灵光一闪,发现规律——ans=a*b-a-b。于是十分高兴,用暴力对拍了一下,发现没错,就开开心心地AC了第一题了!代码就五行,发现最重要!(话说似乎这是NOIP第一次出Θ(1)的题吧)
这边给出证明。
定理: 对于正整数p , q满足gcd(p,
q) = 1, 我们有px + qy =
n 无非负整数解的最大正整数n 为pq
- p - q . 证明如下:
我们首先利用反证法, 证明px + qy ≠ pq
- p - q : 我们假设存在正整数x 和y 使得px
+ qy = pq - p - q , 则有
px
+ qy = pq - p - q
p(x
+ 1) + q(y + 1) = pq
\because
gcd(p, q) = 1,p | q(y + 1)∵gcd(p,q)=1,p∣q(y+1)
\therefore
p | y + 1∴p∣y+1
同理,q
| x + 1
接着我们令y + 1 = pj , x
+ 1 = qk . 则有
pqk
+ qpj = pq
pq(j
+ k) = pq
注意到x, y
≥ 0 ,
我们有y+1≥1 且x+1≥1 ,
因而j≥1 且k≥1 .
因而j+k≥2 ,
因而假设不成立.
得证.
Code:
(math.cpp/c/pas)
【问题描述】
小凯手中有两种面值的金币,两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下,仅凭这两种金币,有些物品他是无法准确支付的。现在小凯想知道在无法准确支付的物品中,最贵的价值是多少金币?注意:输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。
【输入格式】
输入文件名为math.in。
输入数据仅一行,包含两个正整数 a 和 b,它们之间用一个空格隔开,表示小凯手中金币的面值。
【输出格式】
输出文件名为math.out。
输出文件仅一行,一个正整数 N,表示不找零的情况下,小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。
【输入输出样例1】
math.in
3 7
math.out
11
见选手目录下的math/math1.in和math/math1.ans。
【输入输出样例1说明】
小凯手中有面值为3和7的金币无数个,在不找零的前提下无法准确支付价值为1、2、4、5、8、11 的物品,其中最贵的物品价值为 11,比 11 贵的物品都能买到,比如:
12 = 3 * 4 + 7 * 0
4000
13 = 3 * 2 + 7 * 1
14 = 3 * 0 + 7 * 2
15 = 3 * 5 + 7 * 0
……
【输入输出样例2】
见选手目录下的math/math2.in和math/math2.ans。
【数据规模与约定】
对于 30%的数据: 1 ≤ a,b ≤ 50。
对于 60%的数据: 1 ≤ a,b ≤ 10,000。
对于 100%的数据:1 ≤ a,b ≤ 1,000,000,000。
题解:第一眼看到——什么鬼?今年Day1T1贼难!想了10分钟,无解,于是先做第二题。做好第二题再看一遍,模拟了一下样例,又搞了几个小样例,又看了10分钟,突然灵光一闪,发现规律——ans=a*b-a-b。于是十分高兴,用暴力对拍了一下,发现没错,就开开心心地AC了第一题了!代码就五行,发现最重要!(话说似乎这是NOIP第一次出Θ(1)的题吧)
这边给出证明。
定理: 对于正整数p , q满足gcd(p,
q) = 1, 我们有px + qy =
n 无非负整数解的最大正整数n 为pq
- p - q . 证明如下:
我们首先利用反证法, 证明px + qy ≠ pq
- p - q : 我们假设存在正整数x 和y 使得px
+ qy = pq - p - q , 则有
px
+ qy = pq - p - q
p(x
+ 1) + q(y + 1) = pq
\because
gcd(p, q) = 1,p | q(y + 1)∵gcd(p,q)=1,p∣q(y+1)
\therefore
p | y + 1∴p∣y+1
同理,q
| x + 1
接着我们令y + 1 = pj , x
+ 1 = qk . 则有
pqk
+ qpj = pq
pq(j
+ k) = pq
注意到x, y
≥ 0 ,
我们有y+1≥1 且x+1≥1 ,
因而j≥1 且k≥1 .
因而j+k≥2 ,
因而假设不成立.
得证.
Code:
var a,b:int64; begin readln(a,b); writeln((a*b)-a-b); end.
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