HDU3045 Picnic Cows （斜率DP优化）（数形结合）

转自PomeCat：

“DP的斜率优化——对不必要的状态量进行抛弃，对不优的状态量进行搁置，使得在常数时间内找到最优解成为可能。斜率优化依靠的是数形结合的思想，通过将每个阶段和状态的答案反映在坐标系上寻找解答的单调性，来在一个单调的答案（下标）队列中O（1）得到最优解。”

https://wenku.baidu.com/view/b97cd22d0066f5335a8121a3.html

“一些试题中繁杂的代数关系身后往往隐藏着丰富的几何背景，而借助背景图形的性质，可以使那些原本复杂的数量关系和抽象的概念，显得直观，从而找到设计算法的捷径。”—— 周源《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》

斜率优化的核心即为数形结合，具体来说，就是以DP方程为基础，通过变形来使得原方程形如一个函数解析式，再通过建立坐标系的方式，将每一个DP方程代表的状态表示在坐标系中，在确定“斜率”单调性的前提下，进行形如单调队列操作的舍解和维护操作。

一个算法总是用于解决实际问题的，所以结合例题来说是最好的：

Picnic Cows（HDU3045）

题目大意：
给出一个有N (1<= N <=400000)个正数的序列，要求把序列分成若干组（可以打乱顺序），每组的元素个数不能小于T (1 < T <= N)。每一组的代价是每个元素与最小元素的差之和，总代价是每个组的代价之和，求总代价的最小值。

样例输入包含：
第一行 N
第二行 N个数，如题意

样例输出包含：
第一行 最小的总代价

分析：
首先，审题。可以打乱序列顺序，又知道代价为组内每个元素与最小值差之和，故想到贪心，先将序列排序（用STL sort）。
先从最简单的DP方程想起：
容易想到：


Min k 代表序列 j + 1 -> i 内的最小值，排序后可以简化为a[j + 1]。提取相似项合并成前缀和sum。这个方程的思路就是枚举 j 不断地计算状态值更新答案。但是数据规模达到了 40000 ，这种以O（n ^ 2）为绝对上界方法明显行不通。所以接下来我们要引入“斜率”来优化。

首先要对方程进行变形：
f[i] = f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * ( i - j )
– –> f[i] = (f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j) - i * a[j + 1] + sum[i]
（此步将只由i决定的量与只由j决定的量分开）
由于 sum[i] 在当前枚举到 i 的状态下是一个不变量，所以在分析时可以忽略（因为对决策优不优没有影响）（当然写的时候肯定不能忽略）

令 i = k
a[j + 1] = x
f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j = y
f[i] = b
原方程变为
– –> b = y - k * x
移项
– –> y = k * x + b

是不是很眼熟？ 没错，这就是直线的解析式。观察这个式子，我们可以发现，当我们吧许许多多的答案放在坐标系上构成点集，且枚举到 i 时，过每一个点的斜率是一样的！！ 很抽象？ 看图

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=800010;
long long  dp[maxn],q[maxn];
long long  a[maxn],sum[maxn];
long long getdp(long long i,long long j)
{
return dp[j]+(sum[i]-sum[j])-a[j+1]*(i-j);
}
long long getdy(long long j,long long k)//得到 yj-yk  k<j
{
return dp[j]-sum[j]+j*a[j+1]-(dp[k]-sum[k]+k*a[k+1]);
}
long long getdx(long long j,long long k)//得到 xj-xk  k<j
{
return a[j+1]-a[k+1];
}
int main()
{
long long i,j,n,k,head,tail,m;
while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)){
head=tail=0;
sum[0]=q[0]=dp[0]=q[1]=0;
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
sort(a+1,a+n+1);
for(i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
for(i=1;i<=n;i++){
//删去队首斜率小于目前斜率的点
while(head<tail&&(getdy(q[head+1],q[head])<=i*getdx(q[head+1],q[head]))) head++;
dp[i]=getdp(i,q[head]);
j=i-m+1;
if(j<m) continue;
//接下来是对j而不是i进行处理 ，保证了间隔大于m-1的要求
while(head<tail&&(getdy(j,q[tail])*getdx(j,q[tail-1])<=getdy(j,q[tail-1])*getdx(j,q[tail]))) tail--;
q[++tail]=j;
}
printf("%lld\n",dp
);
}
return 0;
}

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