[BZOJ4597][SHOI2016]随机序列（线段树）

首先把表达式按如下方式划分，举个例子：

3∗7∗8+7−4∗12+13

把连续的只由乘号（或不含乘号）构成的极长子表达式作为一个子段，即

(3∗7∗8)+(7)−(4∗12)+(13)每个括号内都是一个子段。

考虑怎样计算原序列的3n−1种结果之和。首先枚举在哪些地方插入乘号，然后规定剩下的地方只能插入加号和减号。

这时可以发现一个很好的性质：如果剩下的地方分别插入+ - + + -，那么就一定有一个 - + - - +，它们的和是第一个子段的2倍。

举个例子，如果考虑到一种是3∗7∗8+7−4∗12+13，

那么就一定有3∗7∗8−7+4∗12−13与之对应，它们的和为2∗3∗7∗8。

从这一点，就可以考虑枚举第一个子段的长度进行统计了。

即记下序列的前缀积pre[]和一个附加值w[]，其中w[n]=1，其他值有w[i]=2∗3n−i−1。那么结果就是∑ni=1pre[i]w[i]。

至于修改，就可以用线段树等数据结构维护了。

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define p2 p << 1
#define p3 p << 1 | 1
using namespace std;
inline int read() {
int res = 0; bool bo = 0; char c;
while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 1e5 + 5, M = N << 2, PYZ = 1e9 + 7;
int n, Q, a
, w
, pre
, T[M], prod[M];
void build(int l, int r, int p) {
if (l == r) return (void) (T[p] = pre[l], prod[p] = 1);
int mid = l + r >> 1; build(l, mid, p2); build(mid + 1, r, p3);
T[p] = (T[p2] + T[p3]) % PYZ; prod[p] = 1;
}
void down(int p) {
prod[p2] = 1ll * prod[p2] * prod[p] % PYZ;
prod[p3] = 1ll * prod[p3] * prod[p] % PYZ;
prod[p] = 1;
}
void upt(int p) {
T[p] = (1ll * T[p2] * prod[p2] % PYZ +
1ll * T[p3] * prod[p3] % PYZ) % PYZ;
}
void change(int l, int r, int s, int e, int v, int p) {
if (l == s && r == e) return (void) (prod[p] = 1ll * prod[p] * v % PYZ);
int mid = l + r >> 1; down(p);
if (e <= mid) change(l, mid, s, e, v, p2);
else if (s >= mid + 1) change(mid + 1, r, s, e, v, p3);
else change(l, mid, s, mid, v, p2),
change(mid + 1, r, mid + 1, e, v, p3);
return upt(p);
}
int qpow(int a, int b) {
int res = 1;
while (b) {
if (b & 1) res = 1ll * res * a % PYZ;
a = 1ll * a * a % PYZ;
b >>= 1;
}
return res;
}
int main() {
int i, x, y, d; n = read(); Q = read(); pre[0] = 1;
for (i = 1; i <= n; i++) a[i] = read(); w
= 1;
for (i = n - 1; i; i--)
w[i] = (i == n - 1 ? 2ll : 3ll) * w[i + 1] % PYZ;
for (i = 1; i <= n; i++) pre[i] = 1ll * pre[i - 1] * a[i] % PYZ;
for (i = 1; i <= n; i++) pre[i] = 1ll * pre[i] * w[i] % PYZ;
build(1, n, 1); while (Q--) {
x = read(); y = read(); d = 1ll * qpow(a[x], PYZ - 2) * y % PYZ;
a[x] = y; change(1, n, x, n, d, 1);
printf("%d\n", 1ll * T[1] * prod[1] % PYZ);
}
return 0;
}