Dijkstra算法(一个节点到其他所有节点的最短路径)
2017-11-09 20:51
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Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)
算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
算法步骤:
a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
说来惭愧,虽然上学期就学了数据结构,今天却是第一次写Dijkstra算法,为了理解方便,注释也照着书敲了一遍。
原谅我只会用画图工具画图,有大佬可以告诉我下比较好用的画这种图的工具。
问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)
算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
算法步骤:
a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
说来惭愧,虽然上学期就学了数据结构,今天却是第一次写Dijkstra算法,为了理解方便,注释也照着书敲了一遍。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXV 100 #define INF 999999 typedef struct{ int edges[MAXV][MAXV];//邻接矩阵的边数组 int n,e;//顶点数,边数 }MGraph;//完整的图邻接矩阵类型 void Dispath(MGraph g,int dist[],int path[],int s[],int v); void Dijkstra(MGraph g,int v) { int dist[MAXV];//dist[i]保存从源点到i的目前的最短路径长度 int path[MAXV];//path[i]保存当前最短路径中的前一个顶点的编号 int s[MAXV];//标记已找到最短路径的顶点,s[i]=0表示未找到,s[i]=1表示已找到。 int mindis,i,j,u; for(i=0;i<g.n;i++) { dist[i]=g.edges[v][i];//距离初始化 s[i]=0;//s[ ]置空 if(g.edges[v][i]<INF)//路径初始化 path[i]=v;//顶点v到顶点i有边时,置顶点i的前一个顶点为v else path[i]=-1;//顶点v到顶点i没有边时,置顶点i的前一个顶点为-1 } s[v]=1;//源点编号v放入s中 path[v]=0; for(i=0;i<g.n;i++)//循环直到所有顶点的最短路径都求出 { mindis=INF;//mindis置最小长度初值为无穷大 u=-1; for(j=0;j<g.n;j++) if(s[j]==0&&dist[j]<mindis)//选取不在s[]中且具有最小距离的顶点u { u=j; mindis=dist[j]; } s[u]=1;//顶点u加入s for(j=0;j<g.n;j++)//修改不在s中的顶点的距离 if(s[j]==0) if(g.edges[u][j]<INF&&dist[u]+g.edges[u][j]<dist[j]) { dist[j]=dist[u]+g.edges[u][j]; path[j]=u; } } Dispath(g,dist,path,s,v); } void Dispath(MGraph g,int dist[],int path[],int s[],int v) { int i,j,k; int apath[MAXV],d;//存放一条最短路径(逆向)及其顶点个数 for(i=0;i<g.n;i++) if(s[i]==1&&i!=v) { printf("从顶点%d到顶点%d的路径长度为:%d\t路径为:",v,i,dist[i]); d=0,apath[d]=i;//添加路径上的终点 k=path[i]; if(k==-1)//没有路径的情况 printf("无路径\n"); else//存在路径时输出该路径 { while(k!=v) { d++; apath[d]=k; k=path[k]; } d++; apath[d]=v;//添加路径上的起点 printf(" %d",apath[d]);//先输出起点 for(j=d-1;j>=0;j--)//再输出其他顶点 printf(",%d",apath[j]); printf("\n"); } } } void DispMat(MGraph g) //输出邻接矩阵g { int i,j; for (i=0;i<g.n;i++) { for (j=0;j<g.n;j++) if (g.edges[i][j]==INF) printf("%3s","∞"); else printf("%3d",g.edges[i][j]); printf("\n"); } } int main() { int i,j,u=0; MGraph g; int A[MAXV][6]={ {0,5,INF,7,INF,INF}, {INF,0,4,INF,INF,INF}, {8,INF,0,INF,INF,9}, {INF,INF,5,0,INF,6}, {INF,INF,INF,5,0,INF}, {3,INF,INF,INF,1,0}}; g.n=6;g.e=10; for(i=0;i<g.n;i++) for (j=0;j<g.n;j++) g.edges[i][j]=A[i][j]; printf("有向图G的邻接矩阵:\n"); DispMat(g); Dijkstra(g,u); printf("\n"); }
原谅我只会用画图工具画图,有大佬可以告诉我下比较好用的画这种图的工具。
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