[模板]乘法逆元

费马小定理

适用：求某一个数在模意义下的乘法逆元。

如果a、p互质，那么有ap−a就是p的倍数，所以有ap≡a(modp)，ap−1≡1(modp)。所以只要打一个快速幂就ok了。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,p;
int power(int x,int k)
{
int ans=1;
while(k)
{
if(k&1)ans*=x%p;
ans%=p;
x=x*x%p;
k>>=1;
}
return ans%p;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&p);
printf("1\n");
for(int i=2;i<=n;i++)
printf("%d\n",power(i,p-2));
return 0;
}

线性求法

适用：某一区间的所有的数在模意义下的乘法逆元、求单个逆元（递归求解）。

简单地说就是一个递推。

首先我们有：1−1≡1(modp)

然后，我们设p=k×i+r,r<l,1<i<p再将这个式子放到modp意义下一看：k×i+r≡0(modp)

再两边同时乘上i−1,r−1可以得到：

k×r−1+i−1≡0(modp)

移项：

i−1=−k×r−1(modp)

所以：

i−1≡−[pi]×(pmodi)−1

于是乎我们就可以递推处当前的逆元了：

A[i]=-(p/i)*A[p%i]

然后其实吧，我们还可以通过递归求解，在O(log2p)的时间内求出单个逆元。怎么证明时间复杂度呢：由于我们可以发现pmodi<i/2，所以每次的子问题规模减半，最终递归次数也可见了。

code：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 3000005
using namespace std;
int n;
long long p;
long long ans[maxn];
int main()
{
scanf("%d%lld",&n,&p);
ans[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
ans[i]=(-(p/i)*ans[p%i])%p;
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%lld\n",ans[i]>0 ? ans[i] : ans[i]+p);
return 0;
}