【bzoj3142】[Hnoi2013]数列

Description

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1)< N。

小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。

输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

16

【样例解释】

输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：

{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}， {3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

题解

http://blog.csdn.net/liufengwei1/article/details/46715201

设相邻两项的差值为a[i]=A[i+1]-A[i]，因为第一天股价多少是不知道的，就=n-a[1]-a[2]..a[k-1]，而对于每一个a[i]又有1到m种选择，于是就是所有的序列加起来，把n拆出来 n*m^k-1 - 后面序列的所有数，后面是有m^（k-1）（k-1）的数，但m个数均出现相等的次数，则每个数均出现m^(k-2)(k-1),m个数的和公式得综合为n*m^(k-1)-m(m+1)/2*m^(k-2)*(k-1)

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
const int N=10000000;
const int mod=1000000007;
const double eps=0.00000001;
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
ll ans,n;
ll m,k,p;
ll gpow(ll m,ll k)
{
if (k==0) return 1;
ll ans=1;
while (k)
{
if (k&1) ans=ans*m%p;
k>>=1;
m=m*m%p;
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld%d%d%d",&n,&k,&m,&p);
if (k==1) ans=n%p;else ans=n%p*gpow(m,k-1)%p-(ll)(m*(m+1)/2)%p*gpow(m,k-2)%p*(k-1)%p;
ans=(ans+p)%p;
cout<<ans;
}