序列分割 HYSBZ - 3675 斜率dp
2017-11-08 00:07
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小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里,小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列,小H需要重复k次以下的步骤:
1.小H首先选择一个长度超过1的序列(一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列);
2.选择一个位置,并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。
每次进行上述步骤之后,小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式,使得k轮之后,小H的总得分最大。
Input
输入第一行包含两个整数n,k(k+1≤n)。
第二行包含n个非负整数a1,a2,…,an(0≤ai≤10^4),表示一开始小H得到的序列。
Output
输出第一行包含一个整数,为小H可以得到的最大分数。
Sample Input
7 3
4 1 3 4 0 2 3
Sample Output
108
Hint
【样例说明】
在样例中,小H可以通过如下3轮操作得到108分:
1.-开始小H有一个序列(4,1,3,4,0,2,3)。小H选择在第1个数之后的位置
将序列分成两部分,并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。
2.这一轮开始时小H有两个序列:(4),(1,3,4,0,2,3)。小H选择在第3个数
字之后的位置将第二个序列分成两部分,并得到(1+3)×(4+0+2+
3)=36分。
3.这一轮开始时小H有三个序列:(4),(1,3),(4,0,2,3)。小H选择在第5个
数字之后的位置将第三个序列分成两部分,并得到(4+0)×(2+3)=
20分。
经过上述三轮操作,小H将会得到四个子序列:(4),(1,3),(4,0),(2,3)并总共得到52+36+20=108分。
【数据规模与评分】
:数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1,200)。
分析:
开始想的是,dp[i][j]:表示前i个数,被切j次。。
这样的话,状态转移就很困难了。转化一下
dp[i][j]:表示前i个数,被分成了j段
dp[i][k]=max(dp[j][k-1]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]));
为什么后面的是sum[j](sum[i]-sum[j]);我们一边的顺序是从左往右分,也就是前面分成的一段和后面的和。而sum[j]*(sum[i]-sum[j])这就像是从右往左分的。可以画图体会一下。
然后化简一下就可以求了,这里会MLE,滚动数组一下就行了。。
然后wa了好久。。。因为不小心吧head=tail=0写在了k循环的外面…….ai….
1.小H首先选择一个长度超过1的序列(一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列);
2.选择一个位置,并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。
每次进行上述步骤之后,小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式,使得k轮之后,小H的总得分最大。
Input
输入第一行包含两个整数n,k(k+1≤n)。
第二行包含n个非负整数a1,a2,…,an(0≤ai≤10^4),表示一开始小H得到的序列。
Output
输出第一行包含一个整数,为小H可以得到的最大分数。
Sample Input
7 3
4 1 3 4 0 2 3
Sample Output
108
Hint
【样例说明】
在样例中,小H可以通过如下3轮操作得到108分:
1.-开始小H有一个序列(4,1,3,4,0,2,3)。小H选择在第1个数之后的位置
将序列分成两部分,并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。
2.这一轮开始时小H有两个序列:(4),(1,3,4,0,2,3)。小H选择在第3个数
字之后的位置将第二个序列分成两部分,并得到(1+3)×(4+0+2+
3)=36分。
3.这一轮开始时小H有三个序列:(4),(1,3),(4,0,2,3)。小H选择在第5个
数字之后的位置将第三个序列分成两部分,并得到(4+0)×(2+3)=
20分。
经过上述三轮操作,小H将会得到四个子序列:(4),(1,3),(4,0),(2,3)并总共得到52+36+20=108分。
【数据规模与评分】
:数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1,200)。
分析:
开始想的是,dp[i][j]:表示前i个数,被切j次。。
这样的话,状态转移就很困难了。转化一下
dp[i][j]:表示前i个数,被分成了j段
dp[i][k]=max(dp[j][k-1]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]));
为什么后面的是sum[j](sum[i]-sum[j]);我们一边的顺序是从左往右分,也就是前面分成的一段和后面的和。而sum[j]*(sum[i]-sum[j])这就像是从右往左分的。可以画图体会一下。
然后化简一下就可以求了,这里会MLE,滚动数组一下就行了。。
然后wa了好久。。。因为不小心吧head=tail=0写在了k循环的外面…….ai….
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cmath> #include <vector> using namespace std; #define ll long long const int maxn = 1e5+10; ll a[maxn],sum[maxn],q[maxn],dp[maxn][3]; ll y(int t,int j,int k) { return (dp[t][(k-1)%2]-sum[t]*sum[t])-(dp[j][(k-1)%2]-sum[j]*sum[j]); } ll x(int j,int t) { return sum[j]-sum[t]; } ll getdp(int i,int j,int k) { return dp[j][(k-1)%2]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]); } int main() { int n,K; scanf("%d %d",&n,&K); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%lld",&a[i]); sum[i]=sum[i-1]+a[i]; } K++; for(int k=2;k<=K;k++) { int head=0,tail=0; for(int i=1;i<=n;i++) { while(head+1<tail&&y(q[head],q[head+1],k)<=x(q[head+1],q[head])*sum[i]) head++; dp[i][k%2]=getdp(i,q[head],k); while(head+1<tail&&y(q[tail-1],i,k)*x(q[tail-1],q[tail-2])<=y(q[tail-2],q[tail-1],k)*x(i,q[tail-1])) tail--; q[tail++]=i; } } cout<<dp [K%2]<<endl; return 0; } /* 3 1 1 2 3 */
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