[luogu3927] SAC E#1 - 一道中档题 Factorial

题目描述

SOL君很喜欢阶乘。而SOL菌很喜欢研究进制。

这一天，SOL君跟SOL菌炫技，随口算出了n的阶乘。

SOL菌表示不服，立刻就要算这个数在k进制表示下末尾0的个数。

但是SOL菌太菜了于是请你帮忙。

输入输出格式

输入格式：

每组输入仅包含一行：两个整数n，k。

输出格式：

输出一个整数：n!在k进制下后缀0的个数。

输入输出样例

输入样例#1：

10 40

输出样例#1：

2

说明

对于20%的数据，n <= 1000000， k = 10

对于另外20%的数据，n <= 20， k <= 36

对于100%的数据，n <= 10^12，k <= 10^12

可以先分解k的质因子，再分解n！中的质因子，找到 min（bi / ai )， bi 为n！质因数i的指数，ai为k质因数i的指数

关键在于求分解n！的质因子(蒟蒻表示看了一早上没看懂

ans = ∑ n/p^i（p^i <=n）

证明

//正解

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

const long long maxn = 1000000 + 100;
long long n,k;
long long check[maxn],zhi[maxn],cnt = 0;
long long check1[maxn],zhi1[maxn],cnt1 = 0;

void solve(long long x) {
for(long long i = 2; i * i <= x&& x > 1; i++) {
if(x % i == 0) {
zhi[++cnt] = i;
while(x % i == 0) {
check[cnt]++;
x /= i;
}
}
}
if(x > 1) zhi[++cnt] = x, check[cnt]++;
}

long long ans = 1e17;//注意开大点

void solve2(long long p) {
for(long long i = 1; i <= cnt; i++) {
long long sum = 0;
for(long long j = zhi[i]; j <= n; j *= zhi[i]) {
sum += p / j;
}
ans = min(ans, sum / check[i]);
}
}

int main() {
cin>>n>>k;
solve(k);
solve2(n);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}

例题

//分解n！的质因子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn = 1000000 + 100;
int n;
int prime[maxn],check[maxn],cnt = 0;

int init_prime() {
memset(check,0,sizeof(check));
memset(prime,0,sizeof(prime));
cnt = 0;
for(int i = 2; i <= 10000; i++) {
if(!check[i]) prime[++cnt] = i;
for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= 10000; j++) {
check[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0) break;
}
}
}

int main() {
cin>>n;
init_prime();
for(int i = 1; i <= cnt; i++) {
int sum = 0;
for(int j = prime[i]; j <= n; j *= prime[i]) {
sum += n / j;
}
if(sum != 0) cout<<prime[i]<<' '<<sum<<endl;
}
return 0;
}