大数据算法课程笔记5a: fixed-parameter vertex cover

1. 问题描述

一个vertex cover是一个点集的集合，并且保证图中的每一条边都存在至少一个顶点位于该点集中。

具体地，G=(V,E) 的一个vertex cover S满足

S⊆V∧{∀e=(v,w)∈E,v∈S or w∈S}

fixed parameter vertex cover问题即寻找|S|=k的vertex cover。

2. 一个简单的算法

遍历V的所有可能子集，复杂度为O(|V|k)。

3. FPT：Fixed Parameter Tractable

注意到上诉算法的fixed paramter位于|V|的指数项，所以我们无法说该算法是|V|的多项式算法。

定义FPT为复杂度为O(f(k)nO(1))的算法。这个可以证明和O(f′(k)+nO(1))是等价的，其中n表示为问题的size/难度。

对于vertex cover问题，也存在FPT的算法，具体如下：



树的深度最多为k，所以最终算法复杂度为O(|E|2k)，或者O(2k+|V|+|E|)。

4. kernelization in fixed paramter complexity

所谓kernelization，是针对输入的一个预处理。通过一些限定条件，使得输入的大小变为一个和fixed parameter相关的更小的输入。

针对vertex cover问题，缩减的工作是通过删除所有度超过k+1的节点完成的。而重要的是缩减后的输入大小是节点数缩减为k(k+1)，因为vertex cover内部的点集数不超过k，而每个节点的度也不超过k，所以所有相连节点的数目不超过k(k+1)。

对于缩减后的输入应用以上算法都可以得到更好的结果。

至于所有度超过k+1的节点都位于S内，是使用反证法证明的。如果该点不在S内，则有其余超过k+1个点都必须在S中才能满足与该点相连的边被覆盖到，而|S|≤k。